Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30818 / 38106
↖ ↑ ↗
← S 28.120439°
W 10.711670°		 ← 538.75 m → S 28.120439°
W 10.706176°		 →
↑
538.73 m
↓
↑
538.73 m
↓
S 28.125283°
W 10.711670°		 ← 538.72 m →
290 233 m²		 S 28.125283°
W 10.706176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470252990722656 y=0.581459045410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470252990722656 × 216)
    floor (0.470252990722656 × 65536)
    floor (30818.5)     		tx = 30818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581459045410156 × 216)
    floor (0.581459045410156 × 65536)
    floor (38106.5)     		ty = 38106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30818 / 38106 ti = "16/30818/38106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30818/38106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30818 ÷ 216
    30818 ÷ 65536     		x = 0.470245361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38106 ÷ 216
    38106 ÷ 65536     		y = 0.581451416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470245361328125 × 2 - 1) × π
    -0.05950927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18695391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581451416015625 × 2 - 1) × π
    -0.16290283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.511774340343719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18695391} λ = -0.18695391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.511774340343719))-π/2
    2×atan(0.599431039986936)-π/2
    2×0.540001042306346-π/2
    1.08000208461269-1.57079632675     		φ = -0.49079424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18695391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.711670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49079424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.120439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30818 KachelY 38106 -0.18695391 -0.49079424 -10.711670 -28.120439
    Oben rechts KachelX + 1 30819 KachelY 38106 -0.18685803 -0.49079424 -10.706176 -28.120439
    Unten links KachelX 30818 KachelY + 1 38107 -0.18695391 -0.49087880 -10.711670 -28.125283
    Unten rechts KachelX + 1 30819 KachelY + 1 38107 -0.18685803 -0.49087880 -10.706176 -28.125283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49079424--0.49087880) × R
    8.45600000000113e-05 × 6371000     		dl = 538.731760000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49079424--0.49087880) × R
    8.45600000000113e-05 × 6371000     		dr = 538.731760000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18695391--0.18685803) × cos(-0.49079424) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.881958790448652 × 6371000     		do = 538.745832444528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18695391--0.18685803) × cos(-0.49087880) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.881918931924679 × 6371000     		du = 538.721484806168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49079424)-sin(-0.49087880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881958790448652-0.881918931924679)×R²
    abs(-0.18685803--0.18695391)×3.98585239734794e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.98585239734794e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.98585239734794e-05×40589641000000     		ar = 290232.932255413m²