Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30818 / 17306
↖ ↑ ↗
← N 64.411177°
W 10.711670°		 ← 263.83 m → N 64.411177°
W 10.706176°		 →
↑
263.82 m
↓
↑
263.82 m
↓
N 64.408804°
W 10.711670°		 ← 263.86 m →
69 608 m²		 N 64.408804°
W 10.706176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470252990722656 y=0.264076232910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470252990722656 × 216)
    floor (0.470252990722656 × 65536)
    floor (30818.5)     		tx = 30818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264076232910156 × 216)
    floor (0.264076232910156 × 65536)
    floor (17306.5)     		ty = 17306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30818 / 17306 ti = "16/30818/17306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30818/17306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30818 ÷ 216
    30818 ÷ 65536     		x = 0.470245361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17306 ÷ 216
    17306 ÷ 65536     		y = 0.264068603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470245361328125 × 2 - 1) × π
    -0.05950927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18695391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264068603515625 × 2 - 1) × π
    0.47186279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.48240068385062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18695391} λ = -0.18695391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48240068385062))-π/2
    2×atan(4.40350442370213)-π/2
    2×1.34749171836704-π/2
    2.69498343673408-1.57079632675     		φ = 1.12418711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18695391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.711670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12418711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.411177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30818 KachelY 17306 -0.18695391 1.12418711 -10.711670 64.411177
    Oben rechts KachelX + 1 30819 KachelY 17306 -0.18685803 1.12418711 -10.706176 64.411177
    Unten links KachelX 30818 KachelY + 1 17307 -0.18695391 1.12414570 -10.711670 64.408804
    Unten rechts KachelX + 1 30819 KachelY + 1 17307 -0.18685803 1.12414570 -10.706176 64.408804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12418711-1.12414570) × R
    4.14100000001305e-05 × 6371000     		dl = 263.823110000831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12418711-1.12414570) × R
    4.14100000001305e-05 × 6371000     		dr = 263.823110000831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18695391--0.18685803) × cos(1.12418711) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.431909818563868 × 6371000     		do = 263.83275189625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18695391--0.18685803) × cos(1.12414570) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.431947166568102 × 6371000     		du = 263.855565979911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12418711)-sin(1.12414570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431909818563868-0.431947166568102)×R²
    abs(-0.18685803--0.18695391)×3.73480042343832e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.73480042343832e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.73480042343832e-05×40589641000000     		ar = 69608.1865765274m²