Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30815 / 17317
↖ ↑ ↗
← N 64.385067°
W 10.728149°		 ← 264.06 m → N 64.385067°
W 10.722656°		 →
↑
264.08 m
↓
↑
264.08 m
↓
N 64.382692°
W 10.728149°		 ← 264.08 m →
69 734 m²		 N 64.382692°
W 10.722656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470207214355469 y=0.264244079589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470207214355469 × 216)
    floor (0.470207214355469 × 65536)
    floor (30815.5)     		tx = 30815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264244079589844 × 216)
    floor (0.264244079589844 × 65536)
    floor (17317.5)     		ty = 17317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30815 / 17317 ti = "16/30815/17317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30815/17317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30815 ÷ 216
    30815 ÷ 65536     		x = 0.470199584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17317 ÷ 216
    17317 ÷ 65536     		y = 0.264236450195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470199584960938 × 2 - 1) × π
    -0.059600830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18724153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264236450195312 × 2 - 1) × π
    0.471527099609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.48134607205898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18724153} λ = -0.18724153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48134607205898))-π/2
    2×atan(4.39886288395382)-π/2
    2×1.3472638614327-π/2
    2.6945277228654-1.57079632675     		φ = 1.12373140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18724153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.728149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12373140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.385067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30815 KachelY 17317 -0.18724153 1.12373140 -10.728149 64.385067
    Oben rechts KachelX + 1 30816 KachelY 17317 -0.18714566 1.12373140 -10.722656 64.385067
    Unten links KachelX 30815 KachelY + 1 17318 -0.18724153 1.12368995 -10.728149 64.382692
    Unten rechts KachelX + 1 30816 KachelY + 1 17318 -0.18714566 1.12368995 -10.722656 64.382692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12373140-1.12368995) × R
    4.14500000001095e-05 × 6371000     		dl = 264.077950000697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12373140-1.12368995) × R
    4.14500000001095e-05 × 6371000     		dr = 264.077950000697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18724153--0.18714566) × cos(1.12373140) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.43232078620548 × 6371000     		do = 264.056248931086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18724153--0.18714566) × cos(1.12368995) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.432358162123014 × 6371000     		du = 264.079077684408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12373140)-sin(1.12368995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43232078620548-0.432358162123014)×R²
    abs(-0.18714566--0.18724153)×3.73759175337773e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.73759175337773e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.73759175337773e-05×40589641000000     		ar = 69734.447197861m²