Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30814 / 20315
↖ ↑ ↗
← N 56.283010°
W 10.733642°		 ← 339.04 m → N 56.283010°
W 10.728149°		 →
↑
339.06 m
↓
↑
339.06 m
↓
N 56.279961°
W 10.733642°		 ← 339.07 m →
114 962 m²		 N 56.279961°
W 10.728149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470191955566406 y=0.309989929199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470191955566406 × 216)
    floor (0.470191955566406 × 65536)
    floor (30814.5)     		tx = 30814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309989929199219 × 216)
    floor (0.309989929199219 × 65536)
    floor (20315.5)     		ty = 20315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30814 / 20315 ti = "16/30814/20315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30814/20315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30814 ÷ 216
    30814 ÷ 65536     		x = 0.470184326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20315 ÷ 216
    20315 ÷ 65536     		y = 0.309982299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470184326171875 × 2 - 1) × π
    -0.05963134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18733740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309982299804688 × 2 - 1) × π
    0.380035400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19391642193712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18733740} λ = -0.18733740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19391642193712))-π/2
    2×atan(3.29998004649378)-π/2
    2×1.27656008349896-π/2
    2.55312016699791-1.57079632675     		φ = 0.98232384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18733740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.733642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98232384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.283010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30814 KachelY 20315 -0.18733740 0.98232384 -10.733642 56.283010
    Oben rechts KachelX + 1 30815 KachelY 20315 -0.18724153 0.98232384 -10.728149 56.283010
    Unten links KachelX 30814 KachelY + 1 20316 -0.18733740 0.98227062 -10.733642 56.279961
    Unten rechts KachelX + 1 30815 KachelY + 1 20316 -0.18724153 0.98227062 -10.728149 56.279961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98232384-0.98227062) × R
    5.3219999999965e-05 × 6371000     		dl = 339.064619999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98232384-0.98227062) × R
    5.3219999999965e-05 × 6371000     		dr = 339.064619999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18733740--0.18724153) × cos(0.98232384) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.555091101468886 × 6371000     		do = 339.042856013017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18733740--0.18724153) × cos(0.98227062) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.555135368523039 × 6371000     		du = 339.069893788308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98232384)-sin(0.98227062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555091101468886-0.555135368523039)×R²
    abs(-0.18724153--0.18733740)×4.42670541532797e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.42670541532797e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.42670541532797e-05×40589641000000     		ar = 114962.020941521m²