Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30813 / 17293
↖ ↑ ↗
← N 64.442002°
W 10.739136°		 ← 263.54 m → N 64.442002°
W 10.733642°		 →
↑
263.50 m
↓
↑
263.50 m
↓
N 64.439633°
W 10.739136°		 ← 263.56 m →
69 446 m²		 N 64.439633°
W 10.733642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470176696777344 y=0.263877868652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470176696777344 × 216)
    floor (0.470176696777344 × 65536)
    floor (30813.5)     		tx = 30813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263877868652344 × 216)
    floor (0.263877868652344 × 65536)
    floor (17293.5)     		ty = 17293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30813 / 17293 ti = "16/30813/17293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30813/17293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30813 ÷ 216
    30813 ÷ 65536     		x = 0.470169067382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17293 ÷ 216
    17293 ÷ 65536     		y = 0.263870239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470169067382812 × 2 - 1) × π
    -0.059661865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18743328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263870239257812 × 2 - 1) × π
    0.472259521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.48364704324074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18743328} λ = -0.18743328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48364704324074))-π/2
    2×atan(4.40899619443915)-π/2
    2×1.34776072455818-π/2
    2.69552144911635-1.57079632675     		φ = 1.12472512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18743328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.739136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12472512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.442002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30813 KachelY 17293 -0.18743328 1.12472512 -10.739136 64.442002
    Oben rechts KachelX + 1 30814 KachelY 17293 -0.18733740 1.12472512 -10.733642 64.442002
    Unten links KachelX 30813 KachelY + 1 17294 -0.18743328 1.12468376 -10.739136 64.439633
    Unten rechts KachelX + 1 30814 KachelY + 1 17294 -0.18733740 1.12468376 -10.733642 64.439633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12472512-1.12468376) × R
    4.13599999999903e-05 × 6371000     		dl = 263.504559999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12472512-1.12468376) × R
    4.13599999999903e-05 × 6371000     		dr = 263.504559999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18743328--0.18733740) × cos(1.12472512) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.431424515822173 × 6371000     		do = 263.536303998314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18743328--0.18733740) × cos(1.12468376) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.431461828337374 × 6371000     		du = 263.559096403447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12472512)-sin(1.12468376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431424515822173-0.431461828337374)×R²
    abs(-0.18733740--0.18743328)×3.73125152017817e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.73125152017817e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.73125152017817e-05×40589641000000     		ar = 69446.0207902493m²