Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3081 / 3677
↖ ↑ ↗
← N 18.104087°
W 44.604492°		 ← 4 644.58 m → N 18.104087°
W 44.560547°		 →
↑
4 645.16 m
↓
↑
4 645.16 m
↓
N 18.062312°
W 44.604492°		 ← 4 645.69 m →
21 577 388 m²		 N 18.062312°
W 44.560547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37615966796875 y=0.44891357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37615966796875 × 213)
    floor (0.37615966796875 × 8192)
    floor (3081.5)     		tx = 3081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44891357421875 × 213)
    floor (0.44891357421875 × 8192)
    floor (3677.5)     		ty = 3677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3081 / 3677 ti = "13/3081/3677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3081/3677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3081 ÷ 213
    3081 ÷ 8192     		x = 0.3760986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3677 ÷ 213
    3677 ÷ 8192     		y = 0.4488525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3760986328125 × 2 - 1) × π
    -0.247802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77849525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4488525390625 × 2 - 1) × π
    0.102294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.321368975052856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77849525} λ = -0.77849525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.321368975052856))-π/2
    2×atan(1.37901430891153)-π/2
    2×0.943386126639488-π/2
    1.88677225327898-1.57079632675     		φ = 0.31597593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77849525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.604492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31597593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.104087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3081 KachelY 3677 -0.77849525 0.31597593 -44.604492 18.104087
    Oben rechts KachelX + 1 3082 KachelY 3677 -0.77772826 0.31597593 -44.560547 18.104087
    Unten links KachelX 3081 KachelY + 1 3678 -0.77849525 0.31524682 -44.604492 18.062312
    Unten rechts KachelX + 1 3082 KachelY + 1 3678 -0.77772826 0.31524682 -44.560547 18.062312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31597593-0.31524682) × R
    0.000729110000000033 × 6371000     		dl = 4645.15981000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31597593-0.31524682) × R
    0.000729110000000033 × 6371000     		dr = 4645.15981000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77849525--0.77772826) × cos(0.31597593) × R
    0.000766990000000023 × 0.950493566985371 × 6371000     		do = 4644.58043726232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77849525--0.77772826) × cos(0.31524682) × R
    0.000766990000000023 × 0.95071988105209 × 6371000     		du = 4645.68631943078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31597593)-sin(0.31524682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950493566985371-0.95071988105209)×R²
    abs(-0.77772826--0.77849525)×0.000226314066719357×R²
    0.000766990000000023×0.000226314066719357×6371000²
    0.000766990000000023×0.000226314066719357×40589641000000     		ar = 21577387.8370655m²