Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3081 / 3225
↖ ↑ ↗
← S 71.328950°
E 90.791015°		 ← 3 128.67 m → S 71.328950°
E 90.878906°		 →
↑
3 126.44 m
↓
↑
3 126.44 m
↓
S 71.357067°
E 90.791015°		 ← 3 124.12 m →
9 774 495 m²		 S 71.357067°
E 90.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7523193359375 y=0.7874755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7523193359375 × 212)
    floor (0.7523193359375 × 4096)
    floor (3081.5)     		tx = 3081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7874755859375 × 212)
    floor (0.7874755859375 × 4096)
    floor (3225.5)     		ty = 3225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3081 / 3225 ti = "12/3081/3225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3081/3225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3081 ÷ 212
    3081 ÷ 4096     		x = 0.752197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3225 ÷ 212
    3225 ÷ 4096     		y = 0.787353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.752197265625 × 2 - 1) × π
    0.50439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.58460215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787353515625 × 2 - 1) × π
    -0.57470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80549538728979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58460215} λ = 1.58460215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80549538728979))-π/2
    2×atan(0.164392998200259)-π/2
    2×0.162935647107859-π/2
    0.325871294215719-1.57079632675     		φ = -1.24492503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58460215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.791015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24492503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.328950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3081 KachelY 3225 1.58460215 -1.24492503 90.791015 -71.328950
    Oben rechts KachelX + 1 3082 KachelY 3225 1.58613613 -1.24492503 90.878906 -71.328950
    Unten links KachelX 3081 KachelY + 1 3226 1.58460215 -1.24541576 90.791015 -71.357067
    Unten rechts KachelX + 1 3082 KachelY + 1 3226 1.58613613 -1.24541576 90.878906 -71.357067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24492503--1.24541576) × R
    0.000490729999999884 × 6371000     		dl = 3126.44082999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24492503--1.24541576) × R
    0.000490729999999884 × 6371000     		dr = 3126.44082999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58460215-1.58613613) × cos(-1.24492503) × R
    0.00153398000000005 × 0.320134349590218 × 6371000     		do = 3128.66870234232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58460215-1.58613613) × cos(-1.24541576) × R
    0.00153398000000005 × 0.31966940712501 × 6371000     		du = 3124.12482586937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24492503)-sin(-1.24541576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320134349590218-0.31966940712501)×R²
    abs(1.58613613-1.58460215)×0.000464942465207951×R²
    0.00153398000000005×0.000464942465207951×6371000²
    0.00153398000000005×0.000464942465207951×40589641000000     		ar = 9774494.69023273m²