Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30809 / 17297
↖ ↑ ↗
← N 64.432521°
W 10.761108°		 ← 263.60 m → N 64.432521°
W 10.755615°		 →
↑
263.57 m
↓
↑
263.57 m
↓
N 64.430151°
W 10.761108°		 ← 263.62 m →
69 480 m²		 N 64.430151°
W 10.755615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470115661621094 y=0.263938903808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470115661621094 × 216)
    floor (0.470115661621094 × 65536)
    floor (30809.5)     		tx = 30809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263938903808594 × 216)
    floor (0.263938903808594 × 65536)
    floor (17297.5)     		ty = 17297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30809 / 17297 ti = "16/30809/17297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30809/17297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30809 ÷ 216
    30809 ÷ 65536     		x = 0.470108032226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17297 ÷ 216
    17297 ÷ 65536     		y = 0.263931274414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470108032226562 × 2 - 1) × π
    -0.059783935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18781677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263931274414062 × 2 - 1) × π
    0.472137451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.48326354804378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18781677} λ = -0.18781677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48326354804378))-π/2
    2×atan(4.4073056897461)-π/2
    2×1.34767798563236-π/2
    2.69535597126472-1.57079632675     		φ = 1.12455964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18781677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.761108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12455964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.432521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30809 KachelY 17297 -0.18781677 1.12455964 -10.761108 64.432521
    Oben rechts KachelX + 1 30810 KachelY 17297 -0.18772090 1.12455964 -10.755615 64.432521
    Unten links KachelX 30809 KachelY + 1 17298 -0.18781677 1.12451827 -10.761108 64.430151
    Unten rechts KachelX + 1 30810 KachelY + 1 17298 -0.18772090 1.12451827 -10.755615 64.430151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12455964-1.12451827) × R
    4.13699999999295e-05 × 6371000     		dl = 263.568269999551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12455964-1.12451827) × R
    4.13699999999295e-05 × 6371000     		dr = 263.568269999551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18781677--0.18772090) × cos(1.12455964) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.43157379753735 × 6371000     		do = 263.599997388264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18781677--0.18772090) × cos(1.12451827) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.431611116119732 × 6371000     		du = 263.622791121977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12455964)-sin(1.12451827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43157379753735-0.431611116119732)×R²
    abs(-0.18772090--0.18781677)×3.7318582382484e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.7318582382484e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.7318582382484e-05×40589641000000     		ar = 69479.5991460695m²