Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30809 / 17290
↖ ↑ ↗
← N 64.449111°
W 10.761108°		 ← 263.44 m → N 64.449111°
W 10.755615°		 →
↑
263.44 m
↓
↑
263.44 m
↓
N 64.446742°
W 10.761108°		 ← 263.46 m →
69 404 m²		 N 64.446742°
W 10.755615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470115661621094 y=0.263832092285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470115661621094 × 216)
    floor (0.470115661621094 × 65536)
    floor (30809.5)     		tx = 30809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263832092285156 × 216)
    floor (0.263832092285156 × 65536)
    floor (17290.5)     		ty = 17290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30809 / 17290 ti = "16/30809/17290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30809/17290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30809 ÷ 216
    30809 ÷ 65536     		x = 0.470108032226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17290 ÷ 216
    17290 ÷ 65536     		y = 0.263824462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470108032226562 × 2 - 1) × π
    -0.059783935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18781677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263824462890625 × 2 - 1) × π
    0.47235107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.48393466463846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18781677} λ = -0.18781677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48393466463846))-π/2
    2×atan(4.41026449847409)-π/2
    2×1.3478227599701-π/2
    2.6956455199402-1.57079632675     		φ = 1.12484919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18781677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.761108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12484919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.449111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30809 KachelY 17290 -0.18781677 1.12484919 -10.761108 64.449111
    Oben rechts KachelX + 1 30810 KachelY 17290 -0.18772090 1.12484919 -10.755615 64.449111
    Unten links KachelX 30809 KachelY + 1 17291 -0.18781677 1.12480784 -10.761108 64.446742
    Unten rechts KachelX + 1 30810 KachelY + 1 17291 -0.18772090 1.12480784 -10.755615 64.446742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12484919-1.12480784) × R
    4.13500000000511e-05 × 6371000     		dl = 263.440850000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12484919-1.12480784) × R
    4.13500000000511e-05 × 6371000     		dr = 263.440850000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18781677--0.18772090) × cos(1.12484919) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.431312582870751 × 6371000     		do = 263.440450664561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18781677--0.18772090) × cos(1.12480784) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.431349888577785 × 6371000     		du = 263.463236534168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12484919)-sin(1.12480784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431312582870751-0.431349888577785)×R²
    abs(-0.18772090--0.18781677)×3.73057070332528e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.73057070332528e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.73057070332528e-05×40589641000000     		ar = 69403.9776217405m²