Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30807 / 38282
↖ ↑ ↗
← S 28.969701°
W 10.772095°		 ← 534.36 m → S 28.969701°
W 10.766602°		 →
↑
534.40 m
↓
↑
534.40 m
↓
S 28.974507°
W 10.772095°		 ← 534.34 m →
285 557 m²		 S 28.974507°
W 10.766602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470085144042969 y=0.584144592285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470085144042969 × 216)
    floor (0.470085144042969 × 65536)
    floor (30807.5)     		tx = 30807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584144592285156 × 216)
    floor (0.584144592285156 × 65536)
    floor (38282.5)     		ty = 38282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30807 / 38282 ti = "16/30807/38282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30807/38282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30807 ÷ 216
    30807 ÷ 65536     		x = 0.470077514648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38282 ÷ 216
    38282 ÷ 65536     		y = 0.584136962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470077514648438 × 2 - 1) × π
    -0.059844970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18800852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584136962890625 × 2 - 1) × π
    -0.16827392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.528648129009979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18800852} λ = -0.18800852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.528648129009979))-π/2
    2×atan(0.589401225757926)-π/2
    2×0.532589832189369-π/2
    1.06517966437874-1.57079632675     		φ = -0.50561666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18800852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.772095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50561666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.969701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30807 KachelY 38282 -0.18800852 -0.50561666 -10.772095 -28.969701
    Oben rechts KachelX + 1 30808 KachelY 38282 -0.18791265 -0.50561666 -10.766602 -28.969701
    Unten links KachelX 30807 KachelY + 1 38283 -0.18800852 -0.50570054 -10.772095 -28.974507
    Unten rechts KachelX + 1 30808 KachelY + 1 38283 -0.18791265 -0.50570054 -10.766602 -28.974507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50561666--0.50570054) × R
    8.38799999999251e-05 × 6371000     		dl = 534.399479999523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50561666--0.50570054) × R
    8.38799999999251e-05 × 6371000     		dr = 534.399479999523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18800852--0.18791265) × cos(-0.50561666) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.874875963347861 × 6371000     		do = 534.363538679985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18800852--0.18791265) × cos(-0.50570054) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.874835333240997 × 6371000     		du = 534.338722307619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50561666)-sin(-0.50570054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874875963347861-0.874835333240997)×R²
    abs(-0.18791265--0.18800852)×4.06301068632819e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.06301068632819e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.06301068632819e-05×40589641000000     		ar = 285556.966440503m²