Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30804 / 20332
↖ ↑ ↗
← N 56.231139°
W 10.788574°		 ← 339.50 m → N 56.231139°
W 10.783081°		 →
↑
339.51 m
↓
↑
339.51 m
↓
N 56.228085°
W 10.788574°		 ← 339.53 m →
115 269 m²		 N 56.228085°
W 10.783081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470039367675781 y=0.310249328613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470039367675781 × 216)
    floor (0.470039367675781 × 65536)
    floor (30804.5)     		tx = 30804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310249328613281 × 216)
    floor (0.310249328613281 × 65536)
    floor (20332.5)     		ty = 20332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30804 / 20332 ti = "16/30804/20332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30804/20332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30804 ÷ 216
    30804 ÷ 65536     		x = 0.47003173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20332 ÷ 216
    20332 ÷ 65536     		y = 0.31024169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47003173828125 × 2 - 1) × π
    -0.0599365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18829614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31024169921875 × 2 - 1) × π
    0.3795166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19228656735004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18829614} λ = -0.18829614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19228656735004))-π/2
    2×atan(3.29460593957379)-π/2
    2×1.27610741790273-π/2
    2.55221483580546-1.57079632675     		φ = 0.98141851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18829614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.788574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98141851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.231139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30804 KachelY 20332 -0.18829614 0.98141851 -10.788574 56.231139
    Oben rechts KachelX + 1 30805 KachelY 20332 -0.18820027 0.98141851 -10.783081 56.231139
    Unten links KachelX 30804 KachelY + 1 20333 -0.18829614 0.98136522 -10.788574 56.228085
    Unten rechts KachelX + 1 30805 KachelY + 1 20333 -0.18820027 0.98136522 -10.783081 56.228085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98141851-0.98136522) × R
    5.32899999999836e-05 × 6371000     		dl = 339.510589999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98141851-0.98136522) × R
    5.32899999999836e-05 × 6371000     		dr = 339.510589999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18829614--0.18820027) × cos(0.98141851) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.555843917924172 × 6371000     		do = 339.502667096961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18829614--0.18820027) × cos(0.98136522) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.555888216401905 × 6371000     		du = 339.529724065389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98141851)-sin(0.98136522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555843917924172-0.555888216401905)×R²
    abs(-0.18820027--0.18829614)×4.42984777324629e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.42984777324629e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.42984777324629e-05×40589641000000     		ar = 115269.34390332m²