Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30800 / 6261
↖ ↑ ↗
← N 73.661819°
E158.378906°		 ← 343.65 m → N 73.661819°
E158.389893°		 →
↑
343.65 m
↓
↑
343.65 m
↓
N 73.658728°
E158.378906°		 ← 343.72 m →
118 108 m²		 N 73.658728°
E158.389893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939956665039062 y=0.191085815429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939956665039062 × 215)
    floor (0.939956665039062 × 32768)
    floor (30800.5)     		tx = 30800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191085815429688 × 215)
    floor (0.191085815429688 × 32768)
    floor (6261.5)     		ty = 6261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30800 / 6261 ti = "15/30800/6261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30800/6261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30800 ÷ 215
    30800 ÷ 32768     		x = 0.93994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6261 ÷ 215
    6261 ÷ 32768     		y = 0.191070556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93994140625 × 2 - 1) × π
    0.8798828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.76423338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191070556640625 × 2 - 1) × π
    0.61785888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.94106093941531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76423338} λ = 2.76423338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94106093941531))-π/2
    2×atan(6.9661377015675)-π/2
    2×1.42821880039917-π/2
    2.85643760079834-1.57079632675     		φ = 1.28564127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76423338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.378906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28564127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.661819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30800 KachelY 6261 2.76423338 1.28564127 158.378906 73.661819
    Oben rechts KachelX + 1 30801 KachelY 6261 2.76442513 1.28564127 158.389893 73.661819
    Unten links KachelX 30800 KachelY + 1 6262 2.76423338 1.28558733 158.378906 73.658728
    Unten rechts KachelX + 1 30801 KachelY + 1 6262 2.76442513 1.28558733 158.389893 73.658728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28564127-1.28558733) × R
    5.39399999999191e-05 × 6371000     		dl = 343.651739999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28564127-1.28558733) × R
    5.39399999999191e-05 × 6371000     		dr = 343.651739999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76423338-2.76442513) × cos(1.28564127) × R
    0.000191749999999935 × 0.281306249974865 × 6371000     		do = 343.65475623949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76423338-2.76442513) × cos(1.28558733) × R
    0.000191749999999935 × 0.281358011362994 × 6371000     		du = 343.717989982862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28564127)-sin(1.28558733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281306249974865-0.281358011362994)×R²
    abs(2.76442513-2.76423338)×5.17613881289014e-05×R²
    0.000191749999999935×5.17613881289014e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.17613881289014e-05×40589641000000     		ar = 118108.42016236m²