Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3080 / 5003
↖ ↑ ↗
← S 36.985003°
W 44.648437°		 ← 3 903.30 m → S 36.985003°
W 44.604492°		 →
↑
3 902.36 m
↓
↑
3 902.36 m
↓
S 37.020098°
W 44.648437°		 ← 3 901.50 m →
15 228 574 m²		 S 37.020098°
W 44.604492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37603759765625 y=0.61077880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37603759765625 × 213)
    floor (0.37603759765625 × 8192)
    floor (3080.5)     		tx = 3080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61077880859375 × 213)
    floor (0.61077880859375 × 8192)
    floor (5003.5)     		ty = 5003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3080 / 5003 ti = "13/3080/5003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3080/5003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3080 ÷ 213
    3080 ÷ 8192     		x = 0.3759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5003 ÷ 213
    5003 ÷ 8192     		y = 0.6107177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3759765625 × 2 - 1) × π
    -0.248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77926224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6107177734375 × 2 - 1) × π
    -0.221435546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.695660287286255
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77926224} λ = -0.77926224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.695660287286255))-π/2
    2×atan(0.49874502424136)-π/2
    2×0.462643124490078-π/2
    0.925286248980157-1.57079632675     		φ = -0.64551008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77926224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64551008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -36.985003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3080 KachelY 5003 -0.77926224 -0.64551008 -44.648437 -36.985003
    Oben rechts KachelX + 1 3081 KachelY 5003 -0.77849525 -0.64551008 -44.604492 -36.985003
    Unten links KachelX 3080 KachelY + 1 5004 -0.77926224 -0.64612260 -44.648437 -37.020098
    Unten rechts KachelX + 1 3081 KachelY + 1 5004 -0.77849525 -0.64612260 -44.604492 -37.020098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64551008--0.64612260) × R
    0.000612520000000005 × 6371000     		dl = 3902.36492000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64551008--0.64612260) × R
    0.000612520000000005 × 6371000     		dr = 3902.36492000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77926224--0.77849525) × cos(-0.64551008) × R
    0.000766990000000023 × 0.798793003701204 × 6371000     		do = 3903.29665268499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77926224--0.77849525) × cos(-0.64612260) × R
    0.000766990000000023 × 0.798424358192631 × 6371000     		du = 3901.49526888096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64551008)-sin(-0.64612260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.798793003701204-0.798424358192631)×R²
    abs(-0.77849525--0.77926224)×0.000368645508572629×R²
    0.000766990000000023×0.000368645508572629×6371000²
    0.000766990000000023×0.000368645508572629×40589641000000     		ar = 15228573.5774312m²