Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3080 / 3675
↖ ↑ ↗
← N 18.187607°
W 44.648437°		 ← 4 642.36 m → N 18.187607°
W 44.604492°		 →
↑
4 642.93 m
↓
↑
4 642.93 m
↓
N 18.145852°
W 44.648437°		 ← 4 643.47 m →
21 556 740 m²		 N 18.145852°
W 44.604492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37603759765625 y=0.44866943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37603759765625 × 213)
    floor (0.37603759765625 × 8192)
    floor (3080.5)     		tx = 3080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44866943359375 × 213)
    floor (0.44866943359375 × 8192)
    floor (3675.5)     		ty = 3675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3080 / 3675 ti = "13/3080/3675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3080/3675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3080 ÷ 213
    3080 ÷ 8192     		x = 0.3759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3675 ÷ 213
    3675 ÷ 8192     		y = 0.4486083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3759765625 × 2 - 1) × π
    -0.248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77926224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4486083984375 × 2 - 1) × π
    0.102783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.322902955840698
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77926224} λ = -0.77926224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.322902955840698))-π/2
    2×atan(1.38113131367475)-π/2
    2×0.944114972092227-π/2
    1.88822994418445-1.57079632675     		φ = 0.31743362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77926224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31743362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.187607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3080 KachelY 3675 -0.77926224 0.31743362 -44.648437 18.187607
    Oben rechts KachelX + 1 3081 KachelY 3675 -0.77849525 0.31743362 -44.604492 18.187607
    Unten links KachelX 3080 KachelY + 1 3676 -0.77926224 0.31670486 -44.648437 18.145852
    Unten rechts KachelX + 1 3081 KachelY + 1 3676 -0.77849525 0.31670486 -44.604492 18.145852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31743362-0.31670486) × R
    0.00072876000000005 × 6371000     		dl = 4642.92996000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31743362-0.31670486) × R
    0.00072876000000005 × 6371000     		dr = 4642.92996000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77926224--0.77849525) × cos(0.31743362) × R
    0.000766990000000023 × 0.950039588550197 × 6371000     		do = 4642.36207468504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77926224--0.77849525) × cos(0.31670486) × R
    0.000766990000000023 × 0.950266803693645 × 6371000     		du = 4643.47235995888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31743362)-sin(0.31670486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950039588550197-0.950266803693645)×R²
    abs(-0.77849525--0.77926224)×0.000227215143447923×R²
    0.000766990000000023×0.000227215143447923×6371000²
    0.000766990000000023×0.000227215143447923×40589641000000     		ar = 21556740.4041547m²