Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30799 / 6259
↖ ↑ ↗
← N 73.667999°
E158.367920°		 ← 343.53 m → N 73.667999°
E158.378906°		 →
↑
343.52 m
↓
↑
343.52 m
↓
N 73.664909°
E158.367920°		 ← 343.59 m →
118 021 m²		 N 73.664909°
E158.378906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939926147460938 y=0.191024780273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939926147460938 × 215)
    floor (0.939926147460938 × 32768)
    floor (30799.5)     		tx = 30799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191024780273438 × 215)
    floor (0.191024780273438 × 32768)
    floor (6259.5)     		ty = 6259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30799 / 6259 ti = "15/30799/6259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30799/6259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30799 ÷ 215
    30799 ÷ 32768     		x = 0.939910888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6259 ÷ 215
    6259 ÷ 32768     		y = 0.191009521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.939910888671875 × 2 - 1) × π
    0.87982177734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.76404163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191009521484375 × 2 - 1) × π
    0.61798095703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.94144443461227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76404163} λ = 2.76404163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94144443461227))-π/2
    2×atan(6.96880969423285)-π/2
    2×1.42827273027225-π/2
    2.85654546054451-1.57079632675     		φ = 1.28574913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76404163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.367920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28574913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.667999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30799 KachelY 6259 2.76404163 1.28574913 158.367920 73.667999
    Oben rechts KachelX + 1 30800 KachelY 6259 2.76423338 1.28574913 158.378906 73.667999
    Unten links KachelX 30799 KachelY + 1 6260 2.76404163 1.28569521 158.367920 73.664909
    Unten rechts KachelX + 1 30800 KachelY + 1 6260 2.76423338 1.28569521 158.378906 73.664909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28574913-1.28569521) × R
    5.39199999998186e-05 × 6371000     		dl = 343.524319998844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28574913-1.28569521) × R
    5.39199999998186e-05 × 6371000     		dr = 343.524319998844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76404163-2.76423338) × cos(1.28574913) × R
    0.000191749999999935 × 0.281202743936324 × 6371000     		do = 343.528309200196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76404163-2.76423338) × cos(1.28569521) × R
    0.000191749999999935 × 0.281254487768268 × 6371000     		du = 343.591521496245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28574913)-sin(1.28569521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281202743936324-0.281254487768268)×R²
    abs(2.76423338-2.76404163)×5.17438319448393e-05×R²
    0.000191749999999935×5.17438319448393e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.17438319448393e-05×40589641000000     		ar = 118021.186326933m²