Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30798 / 6282
↖ ↑ ↗
← N 73.596793°
E158.356933°		 ← 344.99 m → N 73.596793°
E158.367920°		 →
↑
345.05 m
↓
↑
345.05 m
↓
N 73.593689°
E158.356933°		 ← 345.05 m →
119 049 m²		 N 73.593689°
E158.367920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939895629882812 y=0.191726684570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939895629882812 × 215)
    floor (0.939895629882812 × 32768)
    floor (30798.5)     		tx = 30798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191726684570312 × 215)
    floor (0.191726684570312 × 32768)
    floor (6282.5)     		ty = 6282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30798 / 6282 ti = "15/30798/6282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30798/6282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30798 ÷ 215
    30798 ÷ 32768     		x = 0.93988037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6282 ÷ 215
    6282 ÷ 32768     		y = 0.19171142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93988037109375 × 2 - 1) × π
    0.8797607421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.76384988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19171142578125 × 2 - 1) × π
    0.6165771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.93703423984723
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76384988} λ = 2.76384988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93703423984723))-π/2
    2×atan(6.93814355772231)-π/2
    2×1.42765133699096-π/2
    2.85530267398192-1.57079632675     		φ = 1.28450635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76384988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.356933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28450635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.596793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30798 KachelY 6282 2.76384988 1.28450635 158.356933 73.596793
    Oben rechts KachelX + 1 30799 KachelY 6282 2.76404163 1.28450635 158.367920 73.596793
    Unten links KachelX 30798 KachelY + 1 6283 2.76384988 1.28445219 158.356933 73.593689
    Unten rechts KachelX + 1 30799 KachelY + 1 6283 2.76404163 1.28445219 158.367920 73.593689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28450635-1.28445219) × R
    5.41599999999143e-05 × 6371000     		dl = 345.053359999454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28450635-1.28445219) × R
    5.41599999999143e-05 × 6371000     		dr = 345.053359999454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76384988-2.76404163) × cos(1.28450635) × R
    0.000191749999999935 × 0.282395158286235 × 6371000     		do = 344.98500937231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76384988-2.76404163) × cos(1.28445219) × R
    0.000191749999999935 × 0.282447113460797 × 6371000     		du = 345.048479852796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28450635)-sin(1.28445219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282395158286235-0.282447113460797)×R²
    abs(2.76404163-2.76384988)×5.19551745621905e-05×R²
    0.000191749999999935×5.19551745621905e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.19551745621905e-05×40589641000000     		ar = 119049.187013741m²