Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30795 / 6283
↖ ↑ ↗
← N 73.593689°
E158.323975°		 ← 345.05 m → N 73.593689°
E158.334961°		 →
↑
345.05 m
↓
↑
345.05 m
↓
N 73.590586°
E158.323975°		 ← 345.11 m →
119 071 m²		 N 73.590586°
E158.334961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939804077148438 y=0.191757202148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939804077148438 × 215)
    floor (0.939804077148438 × 32768)
    floor (30795.5)     		tx = 30795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191757202148438 × 215)
    floor (0.191757202148438 × 32768)
    floor (6283.5)     		ty = 6283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30795 / 6283 ti = "15/30795/6283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30795/6283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30795 ÷ 215
    30795 ÷ 32768     		x = 0.939788818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6283 ÷ 215
    6283 ÷ 32768     		y = 0.191741943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.939788818359375 × 2 - 1) × π
    0.87957763671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.76327464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191741943359375 × 2 - 1) × π
    0.61651611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.93684249224875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76327464} λ = 2.76327464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93684249224875))-π/2
    2×atan(6.93681331289691)-π/2
    2×1.42762426020378-π/2
    2.85524852040757-1.57079632675     		φ = 1.28445219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76327464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.323975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28445219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.593689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30795 KachelY 6283 2.76327464 1.28445219 158.323975 73.593689
    Oben rechts KachelX + 1 30796 KachelY 6283 2.76346639 1.28445219 158.334961 73.593689
    Unten links KachelX 30795 KachelY + 1 6284 2.76327464 1.28439803 158.323975 73.590586
    Unten rechts KachelX + 1 30796 KachelY + 1 6284 2.76346639 1.28439803 158.334961 73.590586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28445219-1.28439803) × R
    5.41600000001363e-05 × 6371000     		dl = 345.053360000869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28445219-1.28439803) × R
    5.41600000001363e-05 × 6371000     		dr = 345.053360000869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76327464-2.76346639) × cos(1.28445219) × R
    0.000191749999999935 × 0.282447113460797 × 6371000     		do = 345.048479852796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76327464-2.76346639) × cos(1.28439803) × R
    0.000191749999999935 × 0.282499067806856 × 6371000     		du = 345.111949321149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28445219)-sin(1.28439803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282447113460797-0.282499067806856)×R²
    abs(2.76346639-2.76327464)×5.19543460587024e-05×R²
    0.000191749999999935×5.19543460587024e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.19543460587024e-05×40589641000000     		ar = 119071.087542424m²