Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30793 / 38115
↖ ↑ ↗
← S 28.164033°
W 10.848999°		 ← 538.47 m → S 28.164033°
W 10.843506°		 →
↑
538.48 m
↓
↑
538.48 m
↓
S 28.168875°
W 10.848999°		 ← 538.45 m →
289 947 m²		 S 28.168875°
W 10.843506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469871520996094 y=0.581596374511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469871520996094 × 216)
    floor (0.469871520996094 × 65536)
    floor (30793.5)     		tx = 30793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581596374511719 × 216)
    floor (0.581596374511719 × 65536)
    floor (38115.5)     		ty = 38115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30793 / 38115 ti = "16/30793/38115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30793/38115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30793 ÷ 216
    30793 ÷ 65536     		x = 0.469863891601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38115 ÷ 216
    38115 ÷ 65536     		y = 0.581588745117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469863891601562 × 2 - 1) × π
    -0.060272216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18935075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581588745117188 × 2 - 1) × π
    -0.163177490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.512637204536881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18935075} λ = -0.18935075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.512637204536881))-π/2
    2×atan(0.598914035490673)-π/2
    2×0.539620614376955-π/2
    1.07924122875391-1.57079632675     		φ = -0.49155510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18935075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.848999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49155510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.164033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30793 KachelY 38115 -0.18935075 -0.49155510 -10.848999 -28.164033
    Oben rechts KachelX + 1 30794 KachelY 38115 -0.18925488 -0.49155510 -10.843506 -28.164033
    Unten links KachelX 30793 KachelY + 1 38116 -0.18935075 -0.49163962 -10.848999 -28.168875
    Unten rechts KachelX + 1 30794 KachelY + 1 38116 -0.18925488 -0.49163962 -10.843506 -28.168875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49155510--0.49163962) × R
    8.45199999999768e-05 × 6371000     		dl = 538.476919999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49155510--0.49163962) × R
    8.45199999999768e-05 × 6371000     		dr = 538.476919999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18935075--0.18925488) × cos(-0.49155510) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.881599921697964 × 6371000     		do = 538.470450206218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18935075--0.18925488) × cos(-0.49163962) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.881560025325945 × 6371000     		du = 538.446081990122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49155510)-sin(-0.49163962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881599921697964-0.881560025325945)×R²
    abs(-0.18925488--0.18935075)×3.98963720183998e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.98963720183998e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.98963720183998e-05×40589641000000     		ar = 289947.348849514m²