Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30792 / 6296
↖ ↑ ↗
← N 73.553302°
E158.291016°		 ← 345.87 m → N 73.553302°
E158.302002°		 →
↑
345.88 m
↓
↑
345.88 m
↓
N 73.550191°
E158.291016°		 ← 345.94 m →
119 643 m²		 N 73.550191°
E158.302002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939712524414062 y=0.192153930664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939712524414062 × 215)
    floor (0.939712524414062 × 32768)
    floor (30792.5)     		tx = 30792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192153930664062 × 215)
    floor (0.192153930664062 × 32768)
    floor (6296.5)     		ty = 6296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30792 / 6296 ti = "15/30792/6296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30792/6296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30792 ÷ 215
    30792 ÷ 32768     		x = 0.939697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6296 ÷ 215
    6296 ÷ 32768     		y = 0.192138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.939697265625 × 2 - 1) × π
    0.87939453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.76269940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192138671875 × 2 - 1) × π
    0.61572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.93434977346851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76269940} λ = 2.76269940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93434977346851))-π/2
    2×atan(6.91954332163505)-π/2
    2×1.42727180839777-π/2
    2.85454361679555-1.57079632675     		φ = 1.28374729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76269940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.291016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28374729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.553302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30792 KachelY 6296 2.76269940 1.28374729 158.291016 73.553302
    Oben rechts KachelX + 1 30793 KachelY 6296 2.76289115 1.28374729 158.302002 73.553302
    Unten links KachelX 30792 KachelY + 1 6297 2.76269940 1.28369300 158.291016 73.550191
    Unten rechts KachelX + 1 30793 KachelY + 1 6297 2.76289115 1.28369300 158.302002 73.550191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28374729-1.28369300) × R
    5.42900000000124e-05 × 6371000     		dl = 345.881590000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28374729-1.28369300) × R
    5.42900000000124e-05 × 6371000     		dr = 345.881590000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76269940-2.76289115) × cos(1.28374729) × R
    0.000191750000000379 × 0.283123241729395 × 6371000     		do = 345.87446468455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76269940-2.76289115) × cos(1.28369300) × R
    0.000191750000000379 × 0.283175309957326 × 6371000     		du = 345.93807327547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28374729)-sin(1.28369300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283123241729395-0.283175309957326)×R²
    abs(2.76289115-2.76269940)×5.20682279319118e-05×R²
    0.000191750000000379×5.20682279319118e-05×6371000²
    0.000191750000000379×5.20682279319118e-05×40589641000000     		ar = 119642.610335404m²