Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30791 / 6295
↖ ↑ ↗
← N 73.556412°
E158.280029°		 ← 345.81 m → N 73.556412°
E158.291016°		 →
↑
345.82 m
↓
↑
345.82 m
↓
N 73.553302°
E158.280029°		 ← 345.87 m →
119 599 m²		 N 73.553302°
E158.291016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939682006835938 y=0.192123413085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939682006835938 × 215)
    floor (0.939682006835938 × 32768)
    floor (30791.5)     		tx = 30791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192123413085938 × 215)
    floor (0.192123413085938 × 32768)
    floor (6295.5)     		ty = 6295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30791 / 6295 ti = "15/30791/6295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30791/6295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30791 ÷ 215
    30791 ÷ 32768     		x = 0.939666748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6295 ÷ 215
    6295 ÷ 32768     		y = 0.192108154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.939666748046875 × 2 - 1) × π
    0.87933349609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.76250765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192108154296875 × 2 - 1) × π
    0.61578369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.93454152106699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76250765} λ = 2.76250765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93454152106699))-π/2
    2×atan(6.9208702546636)-π/2
    2×1.42729895000282-π/2
    2.85459790000565-1.57079632675     		φ = 1.28380157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76250765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.280029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28380157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.556412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30791 KachelY 6295 2.76250765 1.28380157 158.280029 73.556412
    Oben rechts KachelX + 1 30792 KachelY 6295 2.76269940 1.28380157 158.291016 73.556412
    Unten links KachelX 30791 KachelY + 1 6296 2.76250765 1.28374729 158.280029 73.553302
    Unten rechts KachelX + 1 30792 KachelY + 1 6296 2.76269940 1.28374729 158.291016 73.553302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28380157-1.28374729) × R
    5.42800000000732e-05 × 6371000     		dl = 345.817880000466m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28380157-1.28374729) × R
    5.42800000000732e-05 × 6371000     		dr = 345.817880000466m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76250765-2.76269940) × cos(1.28380157) × R
    0.000191749999999935 × 0.283071182257973 × 6371000     		do = 345.810866790126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76250765-2.76269940) × cos(1.28374729) × R
    0.000191749999999935 × 0.283123241729395 × 6371000     		du = 345.874464683749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28380157)-sin(1.28374729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283071182257973-0.283123241729395)×R²
    abs(2.76269940-2.76250765)×5.20594714215061e-05×R²
    0.000191749999999935×5.20594714215061e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.20594714215061e-05×40589641000000     		ar = 119598.57750797m²