Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30791 / 42184
↖ ↑ ↗
← S 45.859412°
W 10.859985°		 ← 425.37 m → S 45.859412°
W 10.854492°		 →
↑
425.39 m
↓
↑
425.39 m
↓
S 45.863238°
W 10.859985°		 ← 425.34 m →
180 941 m²		 S 45.863238°
W 10.854492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469841003417969 y=0.643684387207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469841003417969 × 216)
    floor (0.469841003417969 × 65536)
    floor (30791.5)     		tx = 30791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643684387207031 × 216)
    floor (0.643684387207031 × 65536)
    floor (42184.5)     		ty = 42184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30791 / 42184 ti = "16/30791/42184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30791/42184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30791 ÷ 216
    30791 ÷ 65536     		x = 0.469833374023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42184 ÷ 216
    42184 ÷ 65536     		y = 0.6436767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469833374023438 × 2 - 1) × π
    -0.060333251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18954250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6436767578125 × 2 - 1) × π
    -0.287353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.902747693644897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18954250} λ = -0.18954250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.902747693644897))-π/2
    2×atan(0.405454064229548)-π/2
    2×0.38519929607593-π/2
    0.77039859215186-1.57079632675     		φ = -0.80039773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18954250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.859985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80039773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.859412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30791 KachelY 42184 -0.18954250 -0.80039773 -10.859985 -45.859412
    Oben rechts KachelX + 1 30792 KachelY 42184 -0.18944663 -0.80039773 -10.854492 -45.859412
    Unten links KachelX 30791 KachelY + 1 42185 -0.18954250 -0.80046450 -10.859985 -45.863238
    Unten rechts KachelX + 1 30792 KachelY + 1 42185 -0.18944663 -0.80046450 -10.854492 -45.863238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80039773--0.80046450) × R
    6.67699999999938e-05 × 6371000     		dl = 425.39166999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80039773--0.80046450) × R
    6.67699999999938e-05 × 6371000     		dr = 425.39166999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18954250--0.18944663) × cos(-0.80039773) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.696421340210933 × 6371000     		do = 425.365637367838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18954250--0.18944663) × cos(-0.80046450) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.696373422294119 × 6371000     		du = 425.336369690284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80039773)-sin(-0.80046450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696421340210933-0.696373422294119)×R²
    abs(-0.18944663--0.18954250)×4.79179168134669e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79179168134669e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79179168134669e-05×40589641000000     		ar = 180940.773794651m²