Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30790 / 38851
↖ ↑ ↗
← N 58.900390°
W 95.432739°		 ← 157.73 m → N 58.900390°
W 95.429993°		 →
↑
157.75 m
↓
↑
157.75 m
↓
N 58.898971°
W 95.432739°		 ← 157.73 m →
24 881 m²		 N 58.898971°
W 95.429993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.234912872314453 y=0.296413421630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.234912872314453 × 217)
    floor (0.234912872314453 × 131072)
    floor (30790.5)     		tx = 30790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296413421630859 × 217)
    floor (0.296413421630859 × 131072)
    floor (38851.5)     		ty = 38851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30790 / 38851 ti = "17/30790/38851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30790/38851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30790 ÷ 217
    30790 ÷ 131072     		x = 0.234909057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38851 ÷ 217
    38851 ÷ 131072     		y = 0.296409606933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.234909057617188 × 2 - 1) × π
    -0.530181884765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.66561551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296409606933594 × 2 - 1) × π
    0.407180786132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.2791961663612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66561551} λ = -1.66561551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2791961663612))-π/2
    2×atan(3.59374978724165)-π/2
    2×1.29940103070345-π/2
    2.59880206140689-1.57079632675     		φ = 1.02800573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66561551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.432739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02800573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.900390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30790 KachelY 38851 -1.66561551 1.02800573 -95.432739 58.900390
    Oben rechts KachelX + 1 30791 KachelY 38851 -1.66556758 1.02800573 -95.429993 58.900390
    Unten links KachelX 30790 KachelY + 1 38852 -1.66561551 1.02798097 -95.432739 58.898971
    Unten rechts KachelX + 1 30791 KachelY + 1 38852 -1.66556758 1.02798097 -95.429993 58.898971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02800573-1.02798097) × R
    2.47600000000681e-05 × 6371000     		dl = 157.745960000434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02800573-1.02798097) × R
    2.47600000000681e-05 × 6371000     		dr = 157.745960000434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66561551--1.66556758) × cos(1.02800573) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.516527505745878 × 6371000     		do = 157.727887705494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66561551--1.66556758) × cos(1.02798097) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.516548706847534 × 6371000     		du = 157.734361716935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02800573)-sin(1.02798097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516527505745878-0.516548706847534)×R²
    abs(-1.66556758--1.66561551)×2.12011016565983e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.12011016565983e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.12011016565983e-05×40589641000000     		ar = 24881.4476909695m²