Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30787 / 38855
↖ ↑ ↗
← N 58.894714°
W 95.440979°		 ← 157.75 m → N 58.894714°
W 95.438233°		 →
↑
157.75 m
↓
↑
157.75 m
↓
N 58.893296°
W 95.440979°		 ← 157.76 m →
24 886 m²		 N 58.893296°
W 95.438233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.234889984130859 y=0.296443939208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.234889984130859 × 217)
    floor (0.234889984130859 × 131072)
    floor (30787.5)     		tx = 30787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296443939208984 × 217)
    floor (0.296443939208984 × 131072)
    floor (38855.5)     		ty = 38855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30787 / 38855 ti = "17/30787/38855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30787/38855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30787 ÷ 217
    30787 ÷ 131072     		x = 0.234886169433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38855 ÷ 217
    38855 ÷ 131072     		y = 0.296440124511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.234886169433594 × 2 - 1) × π
    -0.530227661132812 × 3.1415926535     		Λ = -1.66575932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296440124511719 × 2 - 1) × π
    0.407119750976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.27900441876272
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66575932} λ = -1.66575932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27900441876272))-π/2
    2×atan(3.59306076041214)-π/2
    2×1.29935150518389-π/2
    2.59870301036777-1.57079632675     		φ = 1.02790668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66575932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.440979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02790668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.894714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30787 KachelY 38855 -1.66575932 1.02790668 -95.440979 58.894714
    Oben rechts KachelX + 1 30788 KachelY 38855 -1.66571139 1.02790668 -95.438233 58.894714
    Unten links KachelX 30787 KachelY + 1 38856 -1.66575932 1.02788192 -95.440979 58.893296
    Unten rechts KachelX + 1 30788 KachelY + 1 38856 -1.66571139 1.02788192 -95.438233 58.893296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02790668-1.02788192) × R
    2.47600000000681e-05 × 6371000     		dl = 157.745960000434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02790668-1.02788192) × R
    2.47600000000681e-05 × 6371000     		dr = 157.745960000434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66575932--1.66571139) × cos(1.02790668) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.516612316814602 × 6371000     		do = 157.753785785606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66575932--1.66571139) × cos(1.02788192) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.516633516649356 × 6371000     		du = 157.760259410183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02790668)-sin(1.02788192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516612316814602-0.516633516649356)×R²
    abs(-1.66571139--1.66575932)×2.11998347542375e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.11998347542375e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.11998347542375e-05×40589641000000     		ar = 24885.5329777159m²