Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30786 / 38854
↖ ↑ ↗
← N 58.896134°
W 95.443725°		 ← 157.78 m → N 58.896134°
W 95.440979°		 →
↑
157.81 m
↓
↑
157.81 m
↓
N 58.894714°
W 95.443725°		 ← 157.79 m →
24 900 m²		 N 58.894714°
W 95.440979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.234882354736328 y=0.296436309814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.234882354736328 × 217)
    floor (0.234882354736328 × 131072)
    floor (30786.5)     		tx = 30786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296436309814453 × 217)
    floor (0.296436309814453 × 131072)
    floor (38854.5)     		ty = 38854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30786 / 38854 ti = "17/30786/38854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30786/38854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30786 ÷ 217
    30786 ÷ 131072     		x = 0.234878540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38854 ÷ 217
    38854 ÷ 131072     		y = 0.296432495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.234878540039062 × 2 - 1) × π
    -0.530242919921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.66580726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296432495117188 × 2 - 1) × π
    0.407135009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27905235566234
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66580726} λ = -1.66580726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27905235566234))-π/2
    2×atan(3.59323300473354)-π/2
    2×1.29936388732609-π/2
    2.59872777465217-1.57079632675     		φ = 1.02793145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66580726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.443725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02793145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.896134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30786 KachelY 38854 -1.66580726 1.02793145 -95.443725 58.896134
    Oben rechts KachelX + 1 30787 KachelY 38854 -1.66575932 1.02793145 -95.440979 58.896134
    Unten links KachelX 30786 KachelY + 1 38855 -1.66580726 1.02790668 -95.443725 58.894714
    Unten rechts KachelX + 1 30787 KachelY + 1 38855 -1.66575932 1.02790668 -95.440979 58.894714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02793145-1.02790668) × R
    2.47700000000073e-05 × 6371000     		dl = 157.809670000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02793145-1.02790668) × R
    2.47700000000073e-05 × 6371000     		dr = 157.809670000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66580726--1.66575932) × cos(1.02793145) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.516591108100812 × 6371000     		do = 157.780221469007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66580726--1.66575932) × cos(1.02790668) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.516612316814602 × 6371000     		du = 157.786699156111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02793145)-sin(1.02790668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516591108100812-0.516612316814602)×R²
    abs(-1.66575932--1.66580726)×2.12087137895223e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.12087137895223e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.12087137895223e-05×40589641000000     		ar = 24899.7558047869m²