Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30783 / 17089
↖ ↑ ↗
← N 64.921214°
W 10.903931°		 ← 258.89 m → N 64.921214°
W 10.898438°		 →
↑
258.92 m
↓
↑
258.92 m
↓
N 64.918885°
W 10.903931°		 ← 258.91 m →
67 034 m²		 N 64.918885°
W 10.898438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469718933105469 y=0.260765075683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469718933105469 × 216)
    floor (0.469718933105469 × 65536)
    floor (30783.5)     		tx = 30783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260765075683594 × 216)
    floor (0.260765075683594 × 65536)
    floor (17089.5)     		ty = 17089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30783 / 17089 ti = "16/30783/17089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30783/17089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30783 ÷ 216
    30783 ÷ 65536     		x = 0.469711303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17089 ÷ 216
    17089 ÷ 65536     		y = 0.260757446289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469711303710938 × 2 - 1) × π
    -0.060577392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19030949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260757446289062 × 2 - 1) × π
    0.478485107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50320529828572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19030949} λ = -0.19030949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50320529828572))-π/2
    2×atan(4.49607726754566)-π/2
    2×1.3519426282754-π/2
    2.70388525655079-1.57079632675     		φ = 1.13308893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19030949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.903931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13308893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.921214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30783 KachelY 17089 -0.19030949 1.13308893 -10.903931 64.921214
    Oben rechts KachelX + 1 30784 KachelY 17089 -0.19021362 1.13308893 -10.898438 64.921214
    Unten links KachelX 30783 KachelY + 1 17090 -0.19030949 1.13304829 -10.903931 64.918885
    Unten rechts KachelX + 1 30784 KachelY + 1 17090 -0.19021362 1.13304829 -10.898438 64.918885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13308893-1.13304829) × R
    4.06399999999252e-05 × 6371000     		dl = 258.917439999523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13308893-1.13304829) × R
    4.06399999999252e-05 × 6371000     		dr = 258.917439999523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19030949--0.19021362) × cos(1.13308893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423864110945423 × 6371000     		do = 258.891015107382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19030949--0.19021362) × cos(1.13304829) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423900919291686 × 6371000     		du = 258.913497195113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13308893)-sin(1.13304829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423864110945423-0.423900919291686)×R²
    abs(-0.19021362--0.19030949)×3.68083462634061e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68083462634061e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68083462634061e-05×40589641000000     		ar = 67034.3093822031m²