Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30782 / 17086
↖ ↑ ↗
← N 64.928198°
W 10.909424°		 ← 258.85 m → N 64.928198°
W 10.903931°		 →
↑
258.85 m
↓
↑
258.85 m
↓
N 64.925870°
W 10.909424°		 ← 258.87 m →
67 007 m²		 N 64.925870°
W 10.903931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469703674316406 y=0.260719299316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469703674316406 × 216)
    floor (0.469703674316406 × 65536)
    floor (30782.5)     		tx = 30782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260719299316406 × 216)
    floor (0.260719299316406 × 65536)
    floor (17086.5)     		ty = 17086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30782 / 17086 ti = "16/30782/17086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30782/17086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30782 ÷ 216
    30782 ÷ 65536     		x = 0.469696044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17086 ÷ 216
    17086 ÷ 65536     		y = 0.260711669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469696044921875 × 2 - 1) × π
    -0.06060791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19040537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260711669921875 × 2 - 1) × π
    0.47857666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50349291968344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19040537} λ = -0.19040537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50349291968344))-π/2
    2×atan(4.49737062156284)-π/2
    2×1.35200357653025-π/2
    2.70400715306051-1.57079632675     		φ = 1.13321083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19040537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.909424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13321083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.928198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30782 KachelY 17086 -0.19040537 1.13321083 -10.909424 64.928198
    Oben rechts KachelX + 1 30783 KachelY 17086 -0.19030949 1.13321083 -10.903931 64.928198
    Unten links KachelX 30782 KachelY + 1 17087 -0.19040537 1.13317020 -10.909424 64.925870
    Unten rechts KachelX + 1 30783 KachelY + 1 17087 -0.19030949 1.13317020 -10.903931 64.925870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13321083-1.13317020) × R
    4.0629999999986e-05 × 6371000     		dl = 258.853729999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13321083-1.13317020) × R
    4.0629999999986e-05 × 6371000     		dr = 258.853729999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19040537--0.19030949) × cos(1.13321083) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.423753699822077 × 6371000     		do = 258.850574691771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19040537--0.19030949) × cos(1.13317020) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.423790501210385 × 6371000     		du = 258.873054874286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13321083)-sin(1.13317020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423753699822077-0.423790501210385)×R²
    abs(-0.19030949--0.19040537)×3.68013883083607e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.68013883083607e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.68013883083607e-05×40589641000000     		ar = 67007.3463201426m²