Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30781 / 20237
↖ ↑ ↗
← N 56.520109°
W 10.914917°		 ← 336.94 m → N 56.520109°
W 10.909424°		 →
↑
336.96 m
↓
↑
336.96 m
↓
N 56.517079°
W 10.914917°		 ← 336.96 m →
113 540 m²		 N 56.517079°
W 10.909424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469688415527344 y=0.308799743652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469688415527344 × 216)
    floor (0.469688415527344 × 65536)
    floor (30781.5)     		tx = 30781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308799743652344 × 216)
    floor (0.308799743652344 × 65536)
    floor (20237.5)     		ty = 20237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30781 / 20237 ti = "16/30781/20237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30781/20237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30781 ÷ 216
    30781 ÷ 65536     		x = 0.469680786132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20237 ÷ 216
    20237 ÷ 65536     		y = 0.308792114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469680786132812 × 2 - 1) × π
    -0.060638427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19050124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308792114257812 × 2 - 1) × π
    0.382415771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20139457827785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19050124} λ = -0.19050124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20139457827785))-π/2
    2×atan(3.32475031574059)-π/2
    2×1.27862916481019-π/2
    2.55725832962038-1.57079632675     		φ = 0.98646200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19050124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.914917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98646200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.520109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30781 KachelY 20237 -0.19050124 0.98646200 -10.914917 56.520109
    Oben rechts KachelX + 1 30782 KachelY 20237 -0.19040537 0.98646200 -10.909424 56.520109
    Unten links KachelX 30781 KachelY + 1 20238 -0.19050124 0.98640911 -10.914917 56.517079
    Unten rechts KachelX + 1 30782 KachelY + 1 20238 -0.19040537 0.98640911 -10.909424 56.517079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98646200-0.98640911) × R
    5.28899999999721e-05 × 6371000     		dl = 336.962189999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98646200-0.98640911) × R
    5.28899999999721e-05 × 6371000     		dr = 336.962189999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19050124--0.19040537) × cos(0.98646200) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.551644280229353 × 6371000     		do = 336.937579754534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19050124--0.19040537) × cos(0.98640911) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.551688393921748 × 6371000     		du = 336.964523858338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98646200)-sin(0.98640911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551644280229353-0.551688393921748)×R²
    abs(-0.19040537--0.19050124)×4.41136923945429e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41136923945429e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41136923945429e-05×40589641000000     		ar = 113539.764365885m²