Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30780 / 17279
↖ ↑ ↗
← N 64.475161°
W 10.920410°		 ← 263.19 m → N 64.475161°
W 10.914917°		 →
↑
263.19 m
↓
↑
263.19 m
↓
N 64.472794°
W 10.920410°		 ← 263.21 m →
69 271 m²		 N 64.472794°
W 10.914917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469673156738281 y=0.263664245605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469673156738281 × 216)
    floor (0.469673156738281 × 65536)
    floor (30780.5)     		tx = 30780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263664245605469 × 216)
    floor (0.263664245605469 × 65536)
    floor (17279.5)     		ty = 17279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30780 / 17279 ti = "16/30780/17279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30780/17279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30780 ÷ 216
    30780 ÷ 65536     		x = 0.46966552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17279 ÷ 216
    17279 ÷ 65536     		y = 0.263656616210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46966552734375 × 2 - 1) × π
    -0.0606689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19059711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263656616210938 × 2 - 1) × π
    0.472686767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.4849892764301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19059711} λ = -0.19059711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4849892764301))-π/2
    2×atan(4.41491806884221)-π/2
    2×1.34805008546442-π/2
    2.69610017092884-1.57079632675     		φ = 1.12530384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19059711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.920410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12530384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.475161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30780 KachelY 17279 -0.19059711 1.12530384 -10.920410 64.475161
    Oben rechts KachelX + 1 30781 KachelY 17279 -0.19050124 1.12530384 -10.914917 64.475161
    Unten links KachelX 30780 KachelY + 1 17280 -0.19059711 1.12526253 -10.920410 64.472794
    Unten rechts KachelX + 1 30781 KachelY + 1 17280 -0.19050124 1.12526253 -10.914917 64.472794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12530384-1.12526253) × R
    4.13099999998501e-05 × 6371000     		dl = 263.186009999045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12530384-1.12526253) × R
    4.13099999998501e-05 × 6371000     		dr = 263.186009999045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19059711--0.19050124) × cos(1.12530384) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.430902351914256 × 6371000     		do = 263.189886613458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19059711--0.19050124) × cos(1.12526253) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.430939629631134 × 6371000     		du = 263.212655387021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12530384)-sin(1.12526253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430902351914256-0.430939629631134)×R²
    abs(-0.19050124--0.19059711)×3.72777168782812e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.72777168782812e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.72777168782812e-05×40589641000000     		ar = 69270.8923510319m²