Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3078 / 3673
↖ ↑ ↗
← N 18.271086°
W 44.736328°		 ← 4 640.13 m → N 18.271086°
W 44.692383°		 →
↑
4 640.70 m
↓
↑
4 640.70 m
↓
N 18.229351°
W 44.736328°		 ← 4 641.25 m →
21 536 062 m²		 N 18.229351°
W 44.692383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37579345703125 y=0.44842529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37579345703125 × 213)
    floor (0.37579345703125 × 8192)
    floor (3078.5)     		tx = 3078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44842529296875 × 213)
    floor (0.44842529296875 × 8192)
    floor (3673.5)     		ty = 3673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3078 / 3673 ti = "13/3078/3673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3078/3673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3078 ÷ 213
    3078 ÷ 8192     		x = 0.375732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3673 ÷ 213
    3673 ÷ 8192     		y = 0.4483642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375732421875 × 2 - 1) × π
    -0.24853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78079622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4483642578125 × 2 - 1) × π
    0.103271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.32443693662854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78079622} λ = -0.78079622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.32443693662854))-π/2
    2×atan(1.38325156837464)-π/2
    2×0.944843468657084-π/2
    1.88968693731417-1.57079632675     		φ = 0.31889061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78079622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.736328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31889061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.271086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3078 KachelY 3673 -0.78079622 0.31889061 -44.736328 18.271086
    Oben rechts KachelX + 1 3079 KachelY 3673 -0.78002923 0.31889061 -44.692383 18.271086
    Unten links KachelX 3078 KachelY + 1 3674 -0.78079622 0.31816220 -44.736328 18.229351
    Unten rechts KachelX + 1 3079 KachelY + 1 3674 -0.78002923 0.31816220 -44.692383 18.229351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31889061-0.31816220) × R
    0.000728410000000013 × 6371000     		dl = 4640.70011000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31889061-0.31816220) × R
    0.000728410000000013 × 6371000     		dr = 4640.70011000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78079622--0.78002923) × cos(0.31889061) × R
    0.000766990000000023 × 0.94958381087367 × 6371000     		do = 4640.13492012696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78079622--0.78002923) × cos(0.31816220) × R
    0.000766990000000023 × 0.949811925157056 × 6371000     		du = 4641.24959904207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31889061)-sin(0.31816220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94958381087367-0.949811925157056)×R²
    abs(-0.78002923--0.78079622)×0.000228114283385317×R²
    0.000766990000000023×0.000228114283385317×6371000²
    0.000766990000000023×0.000228114283385317×40589641000000     		ar = 21536062.0317494m²