Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30779 / 20423
↖ ↑ ↗
← N 55.952275°
W 10.925904°		 ← 342.01 m → N 55.952275°
W 10.920410°		 →
↑
342 m
↓
↑
342 m
↓
N 55.949200°
W 10.925904°		 ← 342.03 m →
116 969 m²		 N 55.949200°
W 10.920410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469657897949219 y=0.311637878417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469657897949219 × 216)
    floor (0.469657897949219 × 65536)
    floor (30779.5)     		tx = 30779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311637878417969 × 216)
    floor (0.311637878417969 × 65536)
    floor (20423.5)     		ty = 20423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30779 / 20423 ti = "16/30779/20423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30779/20423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30779 ÷ 216
    30779 ÷ 65536     		x = 0.469650268554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20423 ÷ 216
    20423 ÷ 65536     		y = 0.311630249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469650268554688 × 2 - 1) × π
    -0.060699462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19069299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311630249023438 × 2 - 1) × π
    0.376739501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18356205161919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19069299} λ = -0.19069299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18356205161919))-π/2
    2×atan(3.26598712241899)-π/2
    2×1.27367387890847-π/2
    2.54734775781694-1.57079632675     		φ = 0.97655143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19069299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.925904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97655143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.952275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30779 KachelY 20423 -0.19069299 0.97655143 -10.925904 55.952275
    Oben rechts KachelX + 1 30780 KachelY 20423 -0.19059711 0.97655143 -10.920410 55.952275
    Unten links KachelX 30779 KachelY + 1 20424 -0.19069299 0.97649775 -10.925904 55.949200
    Unten rechts KachelX + 1 30780 KachelY + 1 20424 -0.19059711 0.97649775 -10.920410 55.949200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97655143-0.97649775) × R
    5.36799999999449e-05 × 6371000     		dl = 341.995279999649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97655143-0.97649775) × R
    5.36799999999449e-05 × 6371000     		dr = 341.995279999649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19069299--0.19059711) × cos(0.97655143) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.559883257176723 × 6371000     		do = 342.005516273695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19069299--0.19059711) × cos(0.97649775) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.559927734088408 × 6371000     		du = 342.032685061023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97655143)-sin(0.97649775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559883257176723-0.559927734088408)×R²
    abs(-0.19059711--0.19069299)×4.44769116850763e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.44769116850763e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.44769116850763e-05×40589641000000     		ar = 116968.918126104m²