Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 30775 / 14366
↖ ↑ ↗
← N 80.164649°
W 95.473938°		 ← 52.17 m → N 80.164649°
W 95.471191°		 →
↑
52.18 m
↓
↑
52.18 m
↓
N 80.164179°
W 95.473938°		 ← 52.17 m →
2 722 m²		 N 80.164179°
W 95.471191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.234798431396484 y=0.109607696533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.234798431396484 × 217)
    floor (0.234798431396484 × 131072)
    floor (30775.5)     		tx = 30775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109607696533203 × 217)
    floor (0.109607696533203 × 131072)
    floor (14366.5)     		ty = 14366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30775 / 14366 ti = "17/30775/14366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30775/14366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30775 ÷ 217
    30775 ÷ 131072     		x = 0.234794616699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14366 ÷ 217
    14366 ÷ 131072     		y = 0.109603881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.234794616699219 × 2 - 1) × π
    -0.530410766601562 × 3.1415926535     		Λ = -1.66633457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109603881835938 × 2 - 1) × π
    0.780792236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45293115355827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66633457} λ = -1.66633457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45293115355827))-π/2
    2×atan(11.6223637731931)-π/2
    2×1.48496669374033-π/2
    2.96993338748066-1.57079632675     		φ = 1.39913706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66633457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.473938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39913706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.164649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30775 KachelY 14366 -1.66633457 1.39913706 -95.473938 80.164649
    Oben rechts KachelX + 1 30776 KachelY 14366 -1.66628663 1.39913706 -95.471191 80.164649
    Unten links KachelX 30775 KachelY + 1 14367 -1.66633457 1.39912887 -95.473938 80.164179
    Unten rechts KachelX + 1 30776 KachelY + 1 14367 -1.66628663 1.39912887 -95.471191 80.164179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39913706-1.39912887) × R
    8.1899999999635e-06 × 6371000     		dl = 52.1784899997675m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39913706-1.39912887) × R
    8.1899999999635e-06 × 6371000     		dr = 52.1784899997675m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66633457--1.66628663) × cos(1.39913706) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17081746350037 × 6371000     		do = 52.1720501944894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66633457--1.66628663) × cos(1.39912887) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.170825533123686 × 6371000     		du = 52.1745148651621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39913706)-sin(1.39912887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17081746350037-0.170825533123686)×R²
    abs(-1.66628663--1.66633457)×8.06962331556527e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.06962331556527e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.06962331556527e-06×40589641000000     		ar = 2722.32310073807m²