Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30774 / 17343
↖ ↑ ↗
← N 64.323252°
W 10.953369°		 ← 264.68 m → N 64.323252°
W 10.947876°		 →
↑
264.65 m
↓
↑
264.65 m
↓
N 64.320872°
W 10.953369°		 ← 264.70 m →
70 050 m²		 N 64.320872°
W 10.947876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469581604003906 y=0.264640808105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469581604003906 × 216)
    floor (0.469581604003906 × 65536)
    floor (30774.5)     		tx = 30774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264640808105469 × 216)
    floor (0.264640808105469 × 65536)
    floor (17343.5)     		ty = 17343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30774 / 17343 ti = "16/30774/17343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30774/17343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30774 ÷ 216
    30774 ÷ 65536     		x = 0.469573974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17343 ÷ 216
    17343 ÷ 65536     		y = 0.264633178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469573974609375 × 2 - 1) × π
    -0.06085205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19117236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264633178710938 × 2 - 1) × π
    0.470733642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.47885335327873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19117236} λ = -0.19117236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47885335327873))-π/2
    2×atan(4.38791141097318)-π/2
    2×1.34672442843748-π/2
    2.69344885687495-1.57079632675     		φ = 1.12265253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19117236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.953369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12265253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.323252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30774 KachelY 17343 -0.19117236 1.12265253 -10.953369 64.323252
    Oben rechts KachelX + 1 30775 KachelY 17343 -0.19107648 1.12265253 -10.947876 64.323252
    Unten links KachelX 30774 KachelY + 1 17344 -0.19117236 1.12261099 -10.953369 64.320872
    Unten rechts KachelX + 1 30775 KachelY + 1 17344 -0.19107648 1.12261099 -10.947876 64.320872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12265253-1.12261099) × R
    4.15400000000066e-05 × 6371000     		dl = 264.651340000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12265253-1.12261099) × R
    4.15400000000066e-05 × 6371000     		dr = 264.651340000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19117236--0.19107648) × cos(1.12265253) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.433293372939065 × 6371000     		do = 264.677898134076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19117236--0.19107648) × cos(1.12261099) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.433330810612138 × 6371000     		du = 264.70076699208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12265253)-sin(1.12261099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433293372939065-0.433330810612138)×R²
    abs(-0.19107648--0.19117236)×3.74376730725157e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.74376730725157e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.74376730725157e-05×40589641000000     		ar = 70050.3865566218m²