Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30774 / 16947
↖ ↑ ↗
← N 65.249808°
W 10.953369°		 ← 255.74 m → N 65.249808°
W 10.947876°		 →
↑
255.73 m
↓
↑
255.73 m
↓
N 65.247508°
W 10.953369°		 ← 255.76 m →
65 404 m²		 N 65.247508°
W 10.947876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469581604003906 y=0.258598327636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469581604003906 × 216)
    floor (0.469581604003906 × 65536)
    floor (30774.5)     		tx = 30774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258598327636719 × 216)
    floor (0.258598327636719 × 65536)
    floor (16947.5)     		ty = 16947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30774 / 16947 ti = "16/30774/16947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30774/16947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30774 ÷ 216
    30774 ÷ 65536     		x = 0.469573974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16947 ÷ 216
    16947 ÷ 65536     		y = 0.258590698242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469573974609375 × 2 - 1) × π
    -0.06085205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19117236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258590698242188 × 2 - 1) × π
    0.482818603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51681937777782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19117236} λ = -0.19117236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51681937777782))-π/2
    2×atan(4.55770577671442)-π/2
    2×1.35481015672313-π/2
    2.70962031344627-1.57079632675     		φ = 1.13882399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19117236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.953369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13882399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.249808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30774 KachelY 16947 -0.19117236 1.13882399 -10.953369 65.249808
    Oben rechts KachelX + 1 30775 KachelY 16947 -0.19107648 1.13882399 -10.947876 65.249808
    Unten links KachelX 30774 KachelY + 1 16948 -0.19117236 1.13878385 -10.953369 65.247508
    Unten rechts KachelX + 1 30775 KachelY + 1 16948 -0.19107648 1.13878385 -10.947876 65.247508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13882399-1.13878385) × R
    4.01399999998553e-05 × 6371000     		dl = 255.731939999078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13882399-1.13878385) × R
    4.01399999998553e-05 × 6371000     		dr = 255.731939999078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19117236--0.19107648) × cos(1.13882399) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.418662777023356 × 6371000     		do = 255.740776965681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19117236--0.19107648) × cos(1.13878385) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.418699229496819 × 6371000     		du = 255.763044013046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13882399)-sin(1.13878385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418662777023356-0.418699229496819)×R²
    abs(-0.19107648--0.19117236)×3.64524734632887e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.64524734632887e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.64524734632887e-05×40589641000000     		ar = 65403.9322366137m²