Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30773 / 38931
↖ ↑ ↗
← N 58.786709°
W 95.479431°		 ← 158.28 m → N 58.786709°
W 95.476684°		 →
↑
158.26 m
↓
↑
158.26 m
↓
N 58.785285°
W 95.479431°		 ← 158.29 m →
25 049 m²		 N 58.785285°
W 95.476684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.234783172607422 y=0.297023773193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.234783172607422 × 217)
    floor (0.234783172607422 × 131072)
    floor (30773.5)     		tx = 30773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297023773193359 × 217)
    floor (0.297023773193359 × 131072)
    floor (38931.5)     		ty = 38931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30773 / 38931 ti = "17/30773/38931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30773/38931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30773 ÷ 217
    30773 ÷ 131072     		x = 0.234779357910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38931 ÷ 217
    38931 ÷ 131072     		y = 0.297019958496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.234779357910156 × 2 - 1) × π
    -0.530441284179688 × 3.1415926535     		Λ = -1.66643044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297019958496094 × 2 - 1) × π
    0.405960083007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.27536121439159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66643044} λ = -1.66643044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27536121439159))-π/2
    2×atan(3.57999432204927)-π/2
    2×1.29840897432817-π/2
    2.59681794865634-1.57079632675     		φ = 1.02602162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66643044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.479431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02602162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.786709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30773 KachelY 38931 -1.66643044 1.02602162 -95.479431 58.786709
    Oben rechts KachelX + 1 30774 KachelY 38931 -1.66638250 1.02602162 -95.476684 58.786709
    Unten links KachelX 30773 KachelY + 1 38932 -1.66643044 1.02599678 -95.479431 58.785285
    Unten rechts KachelX + 1 30774 KachelY + 1 38932 -1.66638250 1.02599678 -95.476684 58.785285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02602162-1.02599678) × R
    2.4840000000026e-05 × 6371000     		dl = 158.255640000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02602162-1.02599678) × R
    2.4840000000026e-05 × 6371000     		dr = 158.255640000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66643044--1.66638250) × cos(1.02602162) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.518225422981355 × 6371000     		do = 158.279383300789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66643044--1.66638250) × cos(1.02599678) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.518246667084052 × 6371000     		du = 158.285871796576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02602162)-sin(1.02599678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518225422981355-0.518246667084052)×R²
    abs(-1.66638250--1.66643044)×2.12441026969934e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.12441026969934e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.12441026969934e-05×40589641000000     		ar = 25049.1185248976m²