Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30773 / 17341
↖ ↑ ↗
← N 64.328012°
W 10.958862°		 ← 264.60 m → N 64.328012°
W 10.953369°		 →
↑
264.65 m
↓
↑
264.65 m
↓
N 64.325632°
W 10.958862°		 ← 264.63 m →
70 031 m²		 N 64.325632°
W 10.953369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469566345214844 y=0.264610290527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469566345214844 × 216)
    floor (0.469566345214844 × 65536)
    floor (30773.5)     		tx = 30773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264610290527344 × 216)
    floor (0.264610290527344 × 65536)
    floor (17341.5)     		ty = 17341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30773 / 17341 ti = "16/30773/17341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30773/17341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30773 ÷ 216
    30773 ÷ 65536     		x = 0.469558715820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17341 ÷ 216
    17341 ÷ 65536     		y = 0.264602661132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469558715820312 × 2 - 1) × π
    -0.060882568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19126823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264602661132812 × 2 - 1) × π
    0.470794677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.47904510087721
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19126823} λ = -0.19126823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47904510087721))-π/2
    2×atan(4.38875286311921)-π/2
    2×1.34676596633002-π/2
    2.69353193266004-1.57079632675     		φ = 1.12273561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19126823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.958862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12273561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.328012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30773 KachelY 17341 -0.19126823 1.12273561 -10.958862 64.328012
    Oben rechts KachelX + 1 30774 KachelY 17341 -0.19117236 1.12273561 -10.953369 64.328012
    Unten links KachelX 30773 KachelY + 1 17342 -0.19126823 1.12269407 -10.958862 64.325632
    Unten rechts KachelX + 1 30774 KachelY + 1 17342 -0.19117236 1.12269407 -10.953369 64.325632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12273561-1.12269407) × R
    4.15400000000066e-05 × 6371000     		dl = 264.651340000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12273561-1.12269407) × R
    4.15400000000066e-05 × 6371000     		dr = 264.651340000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19126823--0.19117236) × cos(1.12273561) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.433218495349949 × 6371000     		do = 264.604558697545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19126823--0.19117236) × cos(1.12269407) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.433255934518314 × 6371000     		du = 264.627426083701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12273561)-sin(1.12269407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433218495349949-0.433255934518314)×R²
    abs(-0.19117236--0.19126823)×3.74391683654052e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.74391683654052e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.74391683654052e-05×40589641000000     		ar = 70030.9769818769m²