Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30770 / 20258
↖ ↑ ↗
← N 56.456420°
W 10.975342°		 ← 337.50 m → N 56.456420°
W 10.969849°		 →
↑
337.54 m
↓
↑
337.54 m
↓
N 56.453385°
W 10.975342°		 ← 337.53 m →
113 924 m²		 N 56.453385°
W 10.969849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469520568847656 y=0.309120178222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469520568847656 × 216)
    floor (0.469520568847656 × 65536)
    floor (30770.5)     		tx = 30770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309120178222656 × 216)
    floor (0.309120178222656 × 65536)
    floor (20258.5)     		ty = 20258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30770 / 20258 ti = "16/30770/20258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30770/20258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30770 ÷ 216
    30770 ÷ 65536     		x = 0.469512939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20258 ÷ 216
    20258 ÷ 65536     		y = 0.309112548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469512939453125 × 2 - 1) × π
    -0.06097412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19155585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309112548828125 × 2 - 1) × π
    0.38177490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19938122849381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19155585} λ = -0.19155585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19938122849381))-π/2
    2×atan(3.3180631644566)-π/2
    2×1.27807337194151-π/2
    2.55614674388302-1.57079632675     		φ = 0.98535042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19155585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.975342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98535042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.456420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30770 KachelY 20258 -0.19155585 0.98535042 -10.975342 56.456420
    Oben rechts KachelX + 1 30771 KachelY 20258 -0.19145998 0.98535042 -10.969849 56.456420
    Unten links KachelX 30770 KachelY + 1 20259 -0.19155585 0.98529744 -10.975342 56.453385
    Unten rechts KachelX + 1 30771 KachelY + 1 20259 -0.19145998 0.98529744 -10.969849 56.453385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98535042-0.98529744) × R
    5.29799999999803e-05 × 6371000     		dl = 337.535579999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98535042-0.98529744) × R
    5.29799999999803e-05 × 6371000     		dr = 337.535579999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19155585--0.19145998) × cos(0.98535042) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.552571085304299 × 6371000     		do = 337.503660959485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19155585--0.19145998) × cos(0.98529744) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.552615241545461 × 6371000     		du = 337.530631051556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98535042)-sin(0.98529744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552571085304299-0.552615241545461)×R²
    abs(-0.19145998--0.19155585)×4.41562411618301e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41562411618301e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41562411618301e-05×40589641000000     		ar = 113924.045663484m²