Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3077 / 3221
↖ ↑ ↗
← S 71.216075°
E 90.439453°		 ← 3 146.90 m → S 71.216075°
E 90.527344°		 →
↑
3 144.66 m
↓
↑
3 144.66 m
↓
S 71.244356°
E 90.439453°		 ← 3 142.34 m →
9 888 763 m²		 S 71.244356°
E 90.527344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7513427734375 y=0.7864990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7513427734375 × 212)
    floor (0.7513427734375 × 4096)
    floor (3077.5)     		tx = 3077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7864990234375 × 212)
    floor (0.7864990234375 × 4096)
    floor (3221.5)     		ty = 3221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3077 / 3221 ti = "12/3077/3221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3077/3221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3077 ÷ 212
    3077 ÷ 4096     		x = 0.751220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3221 ÷ 212
    3221 ÷ 4096     		y = 0.786376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751220703125 × 2 - 1) × π
    0.50244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57846623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786376953125 × 2 - 1) × π
    -0.57275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79935946413843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57846623} λ = 1.57846623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79935946413843))-π/2
    2×atan(0.165404802004537)-π/2
    2×0.163920666536168-π/2
    0.327841333072336-1.57079632675     		φ = -1.24295499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57846623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24295499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.216075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3077 KachelY 3221 1.57846623 -1.24295499 90.439453 -71.216075
    Oben rechts KachelX + 1 3078 KachelY 3221 1.58000021 -1.24295499 90.527344 -71.216075
    Unten links KachelX 3077 KachelY + 1 3222 1.57846623 -1.24344858 90.439453 -71.244356
    Unten rechts KachelX + 1 3078 KachelY + 1 3222 1.58000021 -1.24344858 90.527344 -71.244356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24295499--1.24344858) × R
    0.000493589999999822 × 6371000     		dl = 3144.66188999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24295499--1.24344858) × R
    0.000493589999999822 × 6371000     		dr = 3144.66188999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57846623-1.58000021) × cos(-1.24295499) × R
    0.00153397999999982 × 0.322000088191557 × 6371000     		do = 3146.90254065454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57846623-1.58000021) × cos(-1.24344858) × R
    0.00153397999999982 × 0.321532747767724 × 6371000     		du = 3142.33522896413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24295499)-sin(-1.24344858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322000088191557-0.321532747767724)×R²
    abs(1.58000021-1.57846623)×0.000467340423832729×R²
    0.00153397999999982×0.000467340423832729×6371000²
    0.00153397999999982×0.000467340423832729×40589641000000     		ar = 9888763.36640138m²