Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3077 / 3159
↖ ↑ ↗
← S 69.380313°
E 90.439453°		 ← 3 441.69 m → S 69.380313°
E 90.527344°		 →
↑
3 439.26 m
↓
↑
3 439.26 m
↓
S 69.411243°
E 90.439453°		 ← 3 436.75 m →
11 828 354 m²		 S 69.411243°
E 90.527344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7513427734375 y=0.7713623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7513427734375 × 212)
    floor (0.7513427734375 × 4096)
    floor (3077.5)     		tx = 3077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7713623046875 × 212)
    floor (0.7713623046875 × 4096)
    floor (3159.5)     		ty = 3159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3077 / 3159 ti = "12/3077/3159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3077/3159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3077 ÷ 212
    3077 ÷ 4096     		x = 0.751220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3159 ÷ 212
    3159 ÷ 4096     		y = 0.771240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751220703125 × 2 - 1) × π
    0.50244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.57846623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771240234375 × 2 - 1) × π
    -0.54248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.70425265529224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57846623} λ = 1.57846623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70425265529224))-π/2
    2×atan(0.181908283580972)-π/2
    2×0.179940716915556-π/2
    0.359881433831112-1.57079632675     		φ = -1.21091489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57846623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21091489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.380313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3077 KachelY 3159 1.57846623 -1.21091489 90.439453 -69.380313
    Oben rechts KachelX + 1 3078 KachelY 3159 1.58000021 -1.21091489 90.527344 -69.380313
    Unten links KachelX 3077 KachelY + 1 3160 1.57846623 -1.21145472 90.439453 -69.411243
    Unten rechts KachelX + 1 3078 KachelY + 1 3160 1.58000021 -1.21145472 90.527344 -69.411243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21091489--1.21145472) × R
    0.00053983000000013 × 6371000     		dl = 3439.25693000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21091489--1.21145472) × R
    0.00053983000000013 × 6371000     		dr = 3439.25693000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57846623-1.58000021) × cos(-1.21091489) × R
    0.00153397999999982 × 0.352163267872288 × 6371000     		do = 3441.68689088442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57846623-1.58000021) × cos(-1.21145472) × R
    0.00153397999999982 × 0.351657968858022 × 6371000     		du = 3436.74861039911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21091489)-sin(-1.21145472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352163267872288-0.351657968858022)×R²
    abs(1.58000021-1.57846623)×0.000505299014266491×R²
    0.00153397999999982×0.000505299014266491×6371000²
    0.00153397999999982×0.000505299014266491×40589641000000     		ar = 11828353.7699231m²