Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30769 / 17265
↖ ↑ ↗
← N 64.508279°
W 10.980835°		 ← 262.87 m → N 64.508279°
W 10.975342°		 →
↑
262.93 m
↓
↑
262.93 m
↓
N 64.505915°
W 10.980835°		 ← 262.89 m →
69 120 m²		 N 64.505915°
W 10.975342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469505310058594 y=0.263450622558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469505310058594 × 216)
    floor (0.469505310058594 × 65536)
    floor (30769.5)     		tx = 30769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263450622558594 × 216)
    floor (0.263450622558594 × 65536)
    floor (17265.5)     		ty = 17265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30769 / 17265 ti = "16/30769/17265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30769/17265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30769 ÷ 216
    30769 ÷ 65536     		x = 0.469497680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17265 ÷ 216
    17265 ÷ 65536     		y = 0.263442993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469497680664062 × 2 - 1) × π
    -0.061004638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19165172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263442993164062 × 2 - 1) × π
    0.473114013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.48633150961946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19165172} λ = -0.19165172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48633150961946))-π/2
    2×atan(4.42084789711843)-π/2
    2×1.34833909610046-π/2
    2.69667819220091-1.57079632675     		φ = 1.12588187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19165172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.980835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12588187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.508279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30769 KachelY 17265 -0.19165172 1.12588187 -10.980835 64.508279
    Oben rechts KachelX + 1 30770 KachelY 17265 -0.19155585 1.12588187 -10.975342 64.508279
    Unten links KachelX 30769 KachelY + 1 17266 -0.19165172 1.12584060 -10.980835 64.505915
    Unten rechts KachelX + 1 30770 KachelY + 1 17266 -0.19155585 1.12584060 -10.975342 64.505915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12588187-1.12584060) × R
    4.12699999998711e-05 × 6371000     		dl = 262.931169999179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12588187-1.12584060) × R
    4.12699999998711e-05 × 6371000     		dr = 262.931169999179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19165172--0.19155585) × cos(1.12588187) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.430380666516757 × 6371000     		do = 262.871247552878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19165172--0.19155585) × cos(1.12584060) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.43041791841193 × 6371000     		du = 262.894000554859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12588187)-sin(1.12584060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430380666516757-0.43041791841193)×R²
    abs(-0.19155585--0.19165172)×3.72518951737288e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.72518951737288e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.72518951737288e-05×40589641000000     		ar = 69120.0359248012m²