Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30767 / 17354
↖ ↑ ↗
← N 64.297058°
W 10.991821°		 ← 264.90 m → N 64.297058°
W 10.986328°		 →
↑
264.97 m
↓
↑
264.97 m
↓
N 64.294675°
W 10.991821°		 ← 264.92 m →
70 194 m²		 N 64.294675°
W 10.986328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469474792480469 y=0.264808654785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469474792480469 × 216)
    floor (0.469474792480469 × 65536)
    floor (30767.5)     		tx = 30767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264808654785156 × 216)
    floor (0.264808654785156 × 65536)
    floor (17354.5)     		ty = 17354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30767 / 17354 ti = "16/30767/17354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30767/17354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30767 ÷ 216
    30767 ÷ 65536     		x = 0.469467163085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17354 ÷ 216
    17354 ÷ 65536     		y = 0.264801025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469467163085938 × 2 - 1) × π
    -0.061065673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19184347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264801025390625 × 2 - 1) × π
    0.47039794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.47779874148709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19184347} λ = -0.19184347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47779874148709))-π/2
    2×atan(4.38328630713168)-π/2
    2×1.34649584167985-π/2
    2.69299168335971-1.57079632675     		φ = 1.12219536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19184347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.991821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12219536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.297058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30767 KachelY 17354 -0.19184347 1.12219536 -10.991821 64.297058
    Oben rechts KachelX + 1 30768 KachelY 17354 -0.19174760 1.12219536 -10.986328 64.297058
    Unten links KachelX 30767 KachelY + 1 17355 -0.19184347 1.12215377 -10.991821 64.294675
    Unten rechts KachelX + 1 30768 KachelY + 1 17355 -0.19174760 1.12215377 -10.986328 64.294675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12219536-1.12215377) × R
    4.15900000001468e-05 × 6371000     		dl = 264.969890000935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12219536-1.12215377) × R
    4.15900000001468e-05 × 6371000     		dr = 264.969890000935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19184347--0.19174760) × cos(1.12219536) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.433705353448926 × 6371000     		do = 264.901925670125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19184347--0.19174760) × cos(1.12215377) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.433742827940961 × 6371000     		du = 264.924814631548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12219536)-sin(1.12215377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433705353448926-0.433742827940961)×R²
    abs(-0.19174760--0.19184347)×3.74744920354497e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.74744920354497e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.74744920354497e-05×40589641000000     		ar = 70194.0665587145m²