Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30766 / 17342
↖ ↑ ↗
← N 64.325632°
W 10.997315°		 ← 264.66 m → N 64.325632°
W 10.991821°		 →
↑
264.65 m
↓
↑
264.65 m
↓
N 64.323252°
W 10.997315°		 ← 264.68 m →
70 044 m²		 N 64.323252°
W 10.991821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469459533691406 y=0.264625549316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469459533691406 × 216)
    floor (0.469459533691406 × 65536)
    floor (30766.5)     		tx = 30766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264625549316406 × 216)
    floor (0.264625549316406 × 65536)
    floor (17342.5)     		ty = 17342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30766 / 17342 ti = "16/30766/17342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30766/17342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30766 ÷ 216
    30766 ÷ 65536     		x = 0.469451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17342 ÷ 216
    17342 ÷ 65536     		y = 0.264617919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.06109619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19193935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264617919921875 × 2 - 1) × π
    0.47076416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.47894922707797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19193935} λ = -0.19193935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47894922707797))-π/2
    2×atan(4.38833211687789)-π/2
    2×1.34674519828105-π/2
    2.6934903965621-1.57079632675     		φ = 1.12269407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19193935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.997315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12269407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.325632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30766 KachelY 17342 -0.19193935 1.12269407 -10.997315 64.325632
    Oben rechts KachelX + 1 30767 KachelY 17342 -0.19184347 1.12269407 -10.991821 64.325632
    Unten links KachelX 30766 KachelY + 1 17343 -0.19193935 1.12265253 -10.997315 64.323252
    Unten rechts KachelX + 1 30767 KachelY + 1 17343 -0.19184347 1.12265253 -10.991821 64.323252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12269407-1.12265253) × R
    4.15400000000066e-05 × 6371000     		dl = 264.651340000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12269407-1.12265253) × R
    4.15400000000066e-05 × 6371000     		dr = 264.651340000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19193935--0.19184347) × cos(1.12269407) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.433255934518314 × 6371000     		do = 264.655028819352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19193935--0.19184347) × cos(1.12265253) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.433293372939065 × 6371000     		du = 264.677898134076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12269407)-sin(1.12265253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433255934518314-0.433293372939065)×R²
    abs(-0.19184347--0.19193935)×3.74384207513234e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.74384207513234e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.74384207513234e-05×40589641000000     		ar = 70044.3342219814m²