Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30765 / 17387
↖ ↑ ↗
← N 64.218326°
W 11.002808°		 ← 265.66 m → N 64.218326°
W 10.997315°		 →
↑
265.67 m
↓
↑
265.67 m
↓
N 64.215937°
W 11.002808°		 ← 265.68 m →
70 581 m²		 N 64.215937°
W 10.997315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469444274902344 y=0.265312194824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469444274902344 × 216)
    floor (0.469444274902344 × 65536)
    floor (30765.5)     		tx = 30765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265312194824219 × 216)
    floor (0.265312194824219 × 65536)
    floor (17387.5)     		ty = 17387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30765 / 17387 ti = "16/30765/17387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30765/17387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30765 ÷ 216
    30765 ÷ 65536     		x = 0.469436645507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17387 ÷ 216
    17387 ÷ 65536     		y = 0.265304565429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469436645507812 × 2 - 1) × π
    -0.061126708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19203522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.265304565429688 × 2 - 1) × π
    0.469390869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.47463490611217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19203522} λ = -0.19203522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47463490611217))-π/2
    2×atan(4.36944022576554)-π/2
    2×1.34580877684787-π/2
    2.69161755369574-1.57079632675     		φ = 1.12082123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19203522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.002808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12082123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.218326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30765 KachelY 17387 -0.19203522 1.12082123 -11.002808 64.218326
    Oben rechts KachelX + 1 30766 KachelY 17387 -0.19193935 1.12082123 -10.997315 64.218326
    Unten links KachelX 30765 KachelY + 1 17388 -0.19203522 1.12077953 -11.002808 64.215937
    Unten rechts KachelX + 1 30766 KachelY + 1 17388 -0.19193935 1.12077953 -10.997315 64.215937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12082123-1.12077953) × R
    4.16999999999224e-05 × 6371000     		dl = 265.670699999505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12082123-1.12077953) × R
    4.16999999999224e-05 × 6371000     		dr = 265.670699999505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19203522--0.19193935) × cos(1.12082123) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.434943109957482 × 6371000     		do = 265.657932207789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19203522--0.19193935) × cos(1.12077953) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.434980658675164 × 6371000     		du = 265.680866505329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12082123)-sin(1.12077953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434943109957482-0.434980658675164)×R²
    abs(-0.19193935--0.19203522)×3.75487176823008e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.75487176823008e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.75487176823008e-05×40589641000000     		ar = 70580.5753057365m²