Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30762 / 20260
↖ ↑ ↗
← N 56.450349°
W 11.019287°		 ← 337.56 m → N 56.450349°
W 11.013794°		 →
↑
337.54 m
↓
↑
337.54 m
↓
N 56.447313°
W 11.019287°		 ← 337.58 m →
113 942 m²		 N 56.447313°
W 11.013794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469398498535156 y=0.309150695800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469398498535156 × 216)
    floor (0.469398498535156 × 65536)
    floor (30762.5)     		tx = 30762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309150695800781 × 216)
    floor (0.309150695800781 × 65536)
    floor (20260.5)     		ty = 20260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30762 / 20260 ti = "16/30762/20260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30762/20260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30762 ÷ 216
    30762 ÷ 65536     		x = 0.469390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20260 ÷ 216
    20260 ÷ 65536     		y = 0.30914306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.06121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19232284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30914306640625 × 2 - 1) × π
    0.3817138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.19918948089532
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19232284} λ = -0.19232284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19918948089532))-π/2
    2×atan(3.31742699480716)-π/2
    2×1.27802039061858-π/2
    2.55604078123717-1.57079632675     		φ = 0.98524445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19232284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.019287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98524445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.450349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30762 KachelY 20260 -0.19232284 0.98524445 -11.019287 56.450349
    Oben rechts KachelX + 1 30763 KachelY 20260 -0.19222697 0.98524445 -11.013794 56.450349
    Unten links KachelX 30762 KachelY + 1 20261 -0.19232284 0.98519147 -11.019287 56.447313
    Unten rechts KachelX + 1 30763 KachelY + 1 20261 -0.19222697 0.98519147 -11.013794 56.447313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98524445-0.98519147) × R
    5.29800000000913e-05 × 6371000     		dl = 337.535580000582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98524445-0.98519147) × R
    5.29800000000913e-05 × 6371000     		dr = 337.535580000582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19232284--0.19222697) × cos(0.98524445) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.55265940456957 × 6371000     		do = 337.557605286568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19232284--0.19222697) × cos(0.98519147) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.552703557708065 × 6371000     		du = 337.584573483568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98524445)-sin(0.98519147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55265940456957-0.552703557708065)×R²
    abs(-0.19222697--0.19232284)×4.4153138495262e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4153138495262e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4153138495262e-05×40589641000000     		ar = 113942.253473735m²