Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30762 / 16939
↖ ↑ ↗
← N 65.268200°
W 11.019287°		 ← 255.54 m → N 65.268200°
W 11.013794°		 →
↑
255.60 m
↓
↑
255.60 m
↓
N 65.265901°
W 11.019287°		 ← 255.56 m →
65 319 m²		 N 65.265901°
W 11.013794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469398498535156 y=0.258476257324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469398498535156 × 216)
    floor (0.469398498535156 × 65536)
    floor (30762.5)     		tx = 30762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258476257324219 × 216)
    floor (0.258476257324219 × 65536)
    floor (16939.5)     		ty = 16939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30762 / 16939 ti = "16/30762/16939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30762/16939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30762 ÷ 216
    30762 ÷ 65536     		x = 0.469390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16939 ÷ 216
    16939 ÷ 65536     		y = 0.258468627929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.06121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19232284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258468627929688 × 2 - 1) × π
    0.483062744140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51758636817174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19232284} λ = -0.19232284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51758636817174))-π/2
    2×atan(4.56120283419679)-π/2
    2×1.35497065598243-π/2
    2.70994131196486-1.57079632675     		φ = 1.13914499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19232284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.019287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13914499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.268200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30762 KachelY 16939 -0.19232284 1.13914499 -11.019287 65.268200
    Oben rechts KachelX + 1 30763 KachelY 16939 -0.19222697 1.13914499 -11.013794 65.268200
    Unten links KachelX 30762 KachelY + 1 16940 -0.19232284 1.13910487 -11.019287 65.265901
    Unten rechts KachelX + 1 30763 KachelY + 1 16940 -0.19222697 1.13910487 -11.013794 65.265901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13914499-1.13910487) × R
    4.01199999999768e-05 × 6371000     		dl = 255.604519999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13914499-1.13910487) × R
    4.01199999999768e-05 × 6371000     		dr = 255.604519999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19232284--0.19222697) × cos(1.13914499) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.418371241949643 × 6371000     		do = 255.536037902547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19232284--0.19222697) × cos(1.13910487) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.418407681650722 × 6371000     		du = 255.558294826309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13914499)-sin(1.13910487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418371241949643-0.418407681650722)×R²
    abs(-0.19222697--0.19232284)×3.64397010783057e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.64397010783057e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.64397010783057e-05×40589641000000     		ar = 65319.0108047765m²