Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30761 / 20261
↖ ↑ ↗
← N 56.447313°
W 11.024781°		 ← 337.62 m → N 56.447313°
W 11.019287°		 →
↑
337.66 m
↓
↑
337.66 m
↓
N 56.444277°
W 11.024781°		 ← 337.65 m →
114 006 m²		 N 56.444277°
W 11.019287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469383239746094 y=0.309165954589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469383239746094 × 216)
    floor (0.469383239746094 × 65536)
    floor (30761.5)     		tx = 30761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309165954589844 × 216)
    floor (0.309165954589844 × 65536)
    floor (20261.5)     		ty = 20261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30761 / 20261 ti = "16/30761/20261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30761/20261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30761 ÷ 216
    30761 ÷ 65536     		x = 0.469375610351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20261 ÷ 216
    20261 ÷ 65536     		y = 0.309158325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469375610351562 × 2 - 1) × π
    -0.061248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19241872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309158325195312 × 2 - 1) × π
    0.381683349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19909360709608
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19241872} λ = -0.19241872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19909360709608))-π/2
    2×atan(3.31710895572352)-π/2
    2×1.27799389678193-π/2
    2.55598779356387-1.57079632675     		φ = 0.98519147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19241872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.024781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98519147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.447313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30761 KachelY 20261 -0.19241872 0.98519147 -11.024781 56.447313
    Oben rechts KachelX + 1 30762 KachelY 20261 -0.19232284 0.98519147 -11.019287 56.447313
    Unten links KachelX 30761 KachelY + 1 20262 -0.19241872 0.98513847 -11.024781 56.444277
    Unten rechts KachelX + 1 30762 KachelY + 1 20262 -0.19232284 0.98513847 -11.019287 56.444277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98519147-0.98513847) × R
    5.29999999999697e-05 × 6371000     		dl = 337.662999999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98519147-0.98513847) × R
    5.29999999999697e-05 × 6371000     		dr = 337.662999999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19241872--0.19232284) × cos(0.98519147) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.552703557708065 × 6371000     		do = 337.619786227211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19241872--0.19232284) × cos(0.98513847) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.552747725962161 × 6371000     		du = 337.646766470594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98519147)-sin(0.98513847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552703557708065-0.552747725962161)×R²
    abs(-0.19232284--0.19241872)×4.41682540952559e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.41682540952559e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.41682540952559e-05×40589641000000     		ar = 114006.265018452m²