Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30761 / 17097
↖ ↑ ↗
← N 64.902580°
W 11.024781°		 ← 259.10 m → N 64.902580°
W 11.019287°		 →
↑
259.11 m
↓
↑
259.11 m
↓
N 64.900250°
W 11.024781°		 ← 259.12 m →
67 137 m²		 N 64.900250°
W 11.019287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469383239746094 y=0.260887145996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469383239746094 × 216)
    floor (0.469383239746094 × 65536)
    floor (30761.5)     		tx = 30761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260887145996094 × 216)
    floor (0.260887145996094 × 65536)
    floor (17097.5)     		ty = 17097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30761 / 17097 ti = "16/30761/17097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30761/17097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30761 ÷ 216
    30761 ÷ 65536     		x = 0.469375610351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17097 ÷ 216
    17097 ÷ 65536     		y = 0.260879516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469375610351562 × 2 - 1) × π
    -0.061248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19241872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260879516601562 × 2 - 1) × π
    0.478240966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.5024383078918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19241872} λ = -0.19241872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5024383078918))-π/2
    2×atan(4.49263014159636)-π/2
    2×1.35178002195408-π/2
    2.70356004390816-1.57079632675     		φ = 1.13276372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19241872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.024781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13276372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.902580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30761 KachelY 17097 -0.19241872 1.13276372 -11.024781 64.902580
    Oben rechts KachelX + 1 30762 KachelY 17097 -0.19232284 1.13276372 -11.019287 64.902580
    Unten links KachelX 30761 KachelY + 1 17098 -0.19241872 1.13272305 -11.024781 64.900250
    Unten rechts KachelX + 1 30762 KachelY + 1 17098 -0.19232284 1.13272305 -11.019287 64.900250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13276372-1.13272305) × R
    4.06699999999649e-05 × 6371000     		dl = 259.108569999776m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13276372-1.13272305) × R
    4.06699999999649e-05 × 6371000     		dr = 259.108569999776m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19241872--0.19232284) × cos(1.13276372) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.424158639611712 × 6371000     		do = 259.097932761581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19241872--0.19232284) × cos(1.13272305) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.424195469520891 × 6371000     		du = 259.120430366111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13276372)-sin(1.13272305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424158639611712-0.424195469520891)×R²
    abs(-0.19232284--0.19241872)×3.68299091789703e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.68299091789703e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.68299091789703e-05×40589641000000     		ar = 67137.4095183593m²