Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30760 / 17345
↖ ↑ ↗
← N 64.318491°
W 11.030274°		 ← 264.70 m → N 64.318491°
W 11.024781°		 →
↑
264.72 m
↓
↑
264.72 m
↓
N 64.316110°
W 11.030274°		 ← 264.72 m →
70 072 m²		 N 64.316110°
W 11.024781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469367980957031 y=0.264671325683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469367980957031 × 216)
    floor (0.469367980957031 × 65536)
    floor (30760.5)     		tx = 30760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264671325683594 × 216)
    floor (0.264671325683594 × 65536)
    floor (17345.5)     		ty = 17345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30760 / 17345 ti = "16/30760/17345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30760/17345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30760 ÷ 216
    30760 ÷ 65536     		x = 0.4693603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17345 ÷ 216
    17345 ÷ 65536     		y = 0.264663696289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4693603515625 × 2 - 1) × π
    -0.061279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19251459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264663696289062 × 2 - 1) × π
    0.470672607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.47866160568025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19251459} λ = -0.19251459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47866160568025))-π/2
    2×atan(4.3870701201581)-π/2
    2×1.34668288336602-π/2
    2.69336576673204-1.57079632675     		φ = 1.12256944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19251459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.030274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12256944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.318491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30760 KachelY 17345 -0.19251459 1.12256944 -11.030274 64.318491
    Oben rechts KachelX + 1 30761 KachelY 17345 -0.19241872 1.12256944 -11.024781 64.318491
    Unten links KachelX 30760 KachelY + 1 17346 -0.19251459 1.12252789 -11.030274 64.316110
    Unten rechts KachelX + 1 30761 KachelY + 1 17346 -0.19241872 1.12252789 -11.024781 64.316110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12256944-1.12252789) × R
    4.15499999999458e-05 × 6371000     		dl = 264.715049999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12256944-1.12252789) × R
    4.15499999999458e-05 × 6371000     		dr = 264.715049999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19251459--0.19241872) × cos(1.12256944) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.433368256549637 × 6371000     		do = 264.696031006811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19251459--0.19241872) × cos(1.12252789) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.433405701738967 × 6371000     		du = 264.7189020705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12256944)-sin(1.12252789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433368256549637-0.433405701738967)×R²
    abs(-0.19241872--0.19251459)×3.74451893304095e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.74451893304095e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.74451893304095e-05×40589641000000     		ar = 70072.0502502444m²