Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30759 / 26651
↖ ↑ ↗
← N 72.373264°
W 95.517883°		 ← 92.49 m → N 72.373264°
W 95.515137°		 →
↑
92.51 m
↓
↑
92.51 m
↓
N 72.372432°
W 95.517883°		 ← 92.49 m →
8 556 m²		 N 72.372432°
W 95.515137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.234676361083984 y=0.203334808349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.234676361083984 × 217)
    floor (0.234676361083984 × 131072)
    floor (30759.5)     		tx = 30759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203334808349609 × 217)
    floor (0.203334808349609 × 131072)
    floor (26651.5)     		ty = 26651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30759 / 26651 ti = "17/30759/26651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30759/26651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30759 ÷ 217
    30759 ÷ 131072     		x = 0.234672546386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26651 ÷ 217
    26651 ÷ 131072     		y = 0.203330993652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.234672546386719 × 2 - 1) × π
    -0.530654907226562 × 3.1415926535     		Λ = -1.66710156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203330993652344 × 2 - 1) × π
    0.593338012695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.86402634172588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66710156} λ = -1.66710156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86402634172588))-π/2
    2×atan(6.44965306975302)-π/2
    2×1.41697403270949-π/2
    2.83394806541898-1.57079632675     		φ = 1.26315174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66710156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.517883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26315174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.373264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30759 KachelY 26651 -1.66710156 1.26315174 -95.517883 72.373264
    Oben rechts KachelX + 1 30760 KachelY 26651 -1.66705362 1.26315174 -95.515137 72.373264
    Unten links KachelX 30759 KachelY + 1 26652 -1.66710156 1.26313722 -95.517883 72.372432
    Unten rechts KachelX + 1 30760 KachelY + 1 26652 -1.66705362 1.26313722 -95.515137 72.372432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26315174-1.26313722) × R
    1.45200000001289e-05 × 6371000     		dl = 92.5069200008211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26315174-1.26313722) × R
    1.45200000001289e-05 × 6371000     		dr = 92.5069200008211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66710156--1.66705362) × cos(1.26315174) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.302814653223517 × 6371000     		do = 92.4873895440038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66710156--1.66705362) × cos(1.26313722) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.302828491469851 × 6371000     		du = 92.4916161006306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26315174)-sin(1.26313722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302814653223517-0.302828491469851)×R²
    abs(-1.66705362--1.66710156)×1.38382463334419e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.38382463334419e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.38382463334419e-05×40589641000000     		ar = 8555.91903867379m²