Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30757 / 17343
↖ ↑ ↗
← N 64.323252°
W 11.046753°		 ← 264.65 m → N 64.323252°
W 11.041260°		 →
↑
264.65 m
↓
↑
264.65 m
↓
N 64.320872°
W 11.046753°		 ← 264.67 m →
70 043 m²		 N 64.320872°
W 11.041260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469322204589844 y=0.264640808105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469322204589844 × 216)
    floor (0.469322204589844 × 65536)
    floor (30757.5)     		tx = 30757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264640808105469 × 216)
    floor (0.264640808105469 × 65536)
    floor (17343.5)     		ty = 17343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30757 / 17343 ti = "16/30757/17343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30757/17343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30757 ÷ 216
    30757 ÷ 65536     		x = 0.469314575195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17343 ÷ 216
    17343 ÷ 65536     		y = 0.264633178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.469314575195312 × 2 - 1) × π
    -0.061370849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19280221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264633178710938 × 2 - 1) × π
    0.470733642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.47885335327873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19280221} λ = -0.19280221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47885335327873))-π/2
    2×atan(4.38791141097318)-π/2
    2×1.34672442843748-π/2
    2.69344885687495-1.57079632675     		φ = 1.12265253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19280221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.046753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12265253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.323252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30757 KachelY 17343 -0.19280221 1.12265253 -11.046753 64.323252
    Oben rechts KachelX + 1 30758 KachelY 17343 -0.19270634 1.12265253 -11.041260 64.323252
    Unten links KachelX 30757 KachelY + 1 17344 -0.19280221 1.12261099 -11.046753 64.320872
    Unten rechts KachelX + 1 30758 KachelY + 1 17344 -0.19270634 1.12261099 -11.041260 64.320872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12265253-1.12261099) × R
    4.15400000000066e-05 × 6371000     		dl = 264.651340000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12265253-1.12261099) × R
    4.15400000000066e-05 × 6371000     		dr = 264.651340000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19280221--0.19270634) × cos(1.12265253) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.433293372939065 × 6371000     		do = 264.650293013224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19280221--0.19270634) × cos(1.12261099) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.433330810612138 × 6371000     		du = 264.673159486074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12265253)-sin(1.12261099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433293372939065-0.433330810612138)×R²
    abs(-0.19270634--0.19280221)×3.74376730725157e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.74376730725157e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.74376730725157e-05×40589641000000     		ar = 70043.0805087793m²