Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30756 / 17117
↖ ↑ ↗
← N 64.855940°
W 11.052246°		 ← 259.52 m → N 64.855940°
W 11.046753°		 →
↑
259.55 m
↓
↑
259.55 m
↓
N 64.853606°
W 11.052246°		 ← 259.54 m →
67 363 m²		 N 64.853606°
W 11.046753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.469306945800781 y=0.261192321777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.469306945800781 × 216)
    floor (0.469306945800781 × 65536)
    floor (30756.5)     		tx = 30756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261192321777344 × 216)
    floor (0.261192321777344 × 65536)
    floor (17117.5)     		ty = 17117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30756 / 17117 ti = "16/30756/17117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30756/17117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30756 ÷ 216
    30756 ÷ 65536     		x = 0.46929931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17117 ÷ 216
    17117 ÷ 65536     		y = 0.261184692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46929931640625 × 2 - 1) × π
    -0.0614013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19289808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261184692382812 × 2 - 1) × π
    0.477630615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.500520831907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19289808} λ = -0.19289808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.500520831907))-π/2
    2×atan(4.48402388497334)-π/2
    2×1.35137301172109-π/2
    2.70274602344218-1.57079632675     		φ = 1.13194970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19289808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.052246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13194970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.855940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30756 KachelY 17117 -0.19289808 1.13194970 -11.052246 64.855940
    Oben rechts KachelX + 1 30757 KachelY 17117 -0.19280221 1.13194970 -11.046753 64.855940
    Unten links KachelX 30756 KachelY + 1 17118 -0.19289808 1.13190896 -11.052246 64.853606
    Unten rechts KachelX + 1 30757 KachelY + 1 17118 -0.19280221 1.13190896 -11.046753 64.853606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13194970-1.13190896) × R
    4.07399999999836e-05 × 6371000     		dl = 259.554539999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13194970-1.13190896) × R
    4.07399999999836e-05 × 6371000     		dr = 259.554539999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19289808--0.19280221) × cos(1.13194970) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424895665664567 × 6371000     		do = 259.521076113921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19289808--0.19280221) × cos(1.13190896) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.42493254488441 × 6371000     		du = 259.543601490368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13194970)-sin(1.13190896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424895665664567-0.42493254488441)×R²
    abs(-0.19280221--0.19289808)×3.68792198429113e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68792198429113e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68792198429113e-05×40589641000000     		ar = 67362.7968217986m²